2019年
【2019最新】精选高考数学试题分项版解析专题30推理与证明理
一、选择题
1. 【2017课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）
A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D 【解析】 故选D。
【考点】合情推理
【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)。 2.【2015高考广东，理8】若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（ ）
A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3
【答案】．C
【解析】显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的，即或时命题成立，由
2019年
此可排除、、，故选．n?3n?4ABDC
【考点定位】空间想象能力，推理能力，含有量词命题真假的判断．
【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，推理求解能力和含有量词命题真假的判断，此题属于中高档题，如果直接正面解答比较困难，考虑到是选择题及选项信息可以根据平时所积累的平面几何、空间几何知识进行排除则不难得出正确答案，由于时易知正三角形的三个顶点是两两距离相等的从而可以排除、，又当时易知正四面体的四个顶点也是两两距离相等的从而可以排除．Cn?3ABn?4D
3.【2014山东.理4】 用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）a,bx2?ax?b?0
A.方程没有实根 B.方程至多有一个实根x2?ax?b?0x2?ax?b?0
C.方程至多有两个实根 D.方程恰好有两个实根x2?ax?b?0x2?ax?b?0 【答案】A
4.【2015高考浙江，理6】设，是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集，，“”是“ ”的充分必要条件；
ABd(A,B)?card(AUB)?card(AIB)card(A)ABA?Bd(A,B)?0
命题②：对任意有限集，，，，（ ）ABCd(A,C)?d(A,B)?d(B,C) A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 【答案】A.
【解析】命题①显然正确，通过如下文氏图亦可知表示的区域不大于d(A,C)
d(A,B)?d(B,C)的区域，故命题②也正确，故选A.
【考点定位】集合的性质
【名师点睛】本题是集合的阅读材料题，属于中档题，在解题过程中需首先理解材料中相关概念与已知的集合相关知识点的结合，即可知命题①正确，同时注重数形
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结合思想的运用，若用韦恩图表示三个集合，，，则可将问题等价转化为比较集合区域的大小，即可确定集合中元素个数大小的比较.ABC
5. 【2014年.浙江卷.理8】记，，设为平面向量，则（ ）
?x,x?y?y,x?yrrmax{x,y}??min{x,y}??a,b
?y,x?y?x,x?y A.min{|a?b|,|a?b|}?min{|a|,|b|} B.min{|a?b|,|a?b|}?min{|a|,|b|} C.min{|a?b|2,|a?b|2}?|a|2?|b|2 D.min{|a?b|2,|a?b|2}?|a|2?|b|2 答案：Ｄ
解析：根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知与的大小不确定，由平行四边形法则及余弦定理可知，所对的角大于或等于，故，故选Ｄ
rrrrrrrrrrrr2rr2r2r2mina?b,a?bmina,bmaxa?b,a?b90?maxa?b,a?b?a?b
????????考点：向量运算的几何意义.
6. 【2014高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 【答案】B 【解析】
试题分析：用、、分别表示优秀、及格和不及格，依题意，事件、、中都最多只有一个元素，所以只有，，满足条件，故选B.ABCABCACBBCA 考点：合情推理，中等题.
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7. 【2015高考北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里
程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.
考点：本题考点定位为函数应用问题，考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图象的理解.
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【名师点睛】本题考查对新定义“燃油效率”的理解和读图能力，本题属于中等题，有能力要求，贴近学生生活，要求按照“燃油效率”的定义，汽车每消耗1升汽油行驶的里程，可以断定“燃油效率”高的车省油，相同的速度条件下，“燃油效率”高的汽车，每消耗1升汽油行驶的里程必然大，需要学生针对四个选择只做出正确判断.
8.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷6】若函数、满足，则称、在区间上的一组正交函数，给出三组函数：①；②；③.f(x)g(x)11f(x)g(x)[?1,1]f(x)?sinx,g(x)?cosxf(x)?x?1,g(x)?x?1f(x)g(x)dx?0??1221f(x)?x,g(x)?x2
其中为区间的正交函数的组数是（ ）[?1,1]
A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】
试题分析：对①，则、为区间上的正交函数；
11111(sinx?cosx)dx?(sinx)dx?(?cosx)|1?1?0f(x)g(x)[?1,1] ??12??12221对
1②，则、不为区间上的正交函数；
11321(x?1)(x?1)dx?(x?1)dx?(x?x)|?1?0f(x)g(x)[?1,1] ??1??1311对③，则、为区间上的正交函数.??1x3dx?(x4)|1?1?0f(x)g(x)[?1,1]
4所以满足条件的正交函数有2组，故选C.
考点：新定义题型，微积分基本定理的运用，容易题.
9. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷8】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江××县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积
2020高考数学试题分项版解析专题30推理与证明理
