向量在解析几何中的应用 大连市三十六中学数学组
例题
例1.已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足PA?PB?x，则点P的轨迹是（D） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 [点评]此题考查轨迹方程和向量的基本运算等知识，属于较简单的题.
2x2y2例2.已知椭圆2?2?1(a＞b＞0)上总存在点P,使PF1?PF2?0,其中F1,F2是椭圆的焦点,
ab那么该椭圆离心率的取值范围是??2?,1? ??2?[点评]此题借助向量语言给出PF1和PF2的垂直关系，重点考查椭圆的几何性质.
y2?1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B,O是坐标原点,点P满足例3. 设椭圆方程为x?42OP?1?11?OA?OB,点N的坐标为?,?.当l绕点M旋转时,求(1)动点P的轨迹方程;(2)NP2?22???的最大值和最小值.
y2?1中消y得?4?k2?x2?2kx?3?0. [解析]⑴设l:y?kx?1，代入x?42 设A?x1,y1?,B?x2,y2?,则x1?x2?? ?OP?2k8,y?y?kx?x?2? ??12124?k24?k21k4??x?xy?y2??OA?OB??12,1??, ??22?2224?k4?k??????k?
x????4?k222 设P?x,y?，则? ，消k得4x?y?y?0
?y?4?4?k2?
当k不存在时，AB中点为（0，0），满足上述方程. 所以P点轨迹方程是4x?y?y?0.
⑵由P点轨迹方程知x?2222111,???x? 16442221??1?1?11?7???|NP|??x????y????x????4x2??3?x??? ?2??2?2?46?12??? 所以，当x?21111时，|NP|min?；当x??时，|NP|max?.
6446[点评]此题主要考查平面向量的基本运算、直线和圆锥曲线相交问题、轨迹方程的求法和应用、
配方法求函数的最值等基本知识，考查了解析几何的基本思想和综合解题能力.
例4.在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A(-1，0),B(1，0)，平面内两点G，M同时满足以下条件：①GA+GB+GC = 0；②|MA|=|MB|=|MC|；③GM//AB.试求：⑴△ABC顶点C的轨迹方程；⑵过点P(2，0)的直线l与⑴中的轨迹交于点E，F，求PE?PF的取值范围.
[解析] ⑴|MA|=|MB|=|MC|,?M是△ABC的外心
A(-1，0),B(1，0)，?M在y轴上
M A O G B x y C GA+GB+GC = 0, ?G是△ABC的重心
设C(x,y),则G??xy??y?,?. 又GM//AB,?M?0,? ?33??3?
y2y24y22?x2?1?y?0? ?C点轨迹方程是MA|=|MC|,?1??x?399y2?x2?1中消x得?1?3k2?y2?12ky?9?0 ⑵设l:ky?x?2，代入3 则??144k?361?3k2?2??0,?k2?1
12k9,yy? 12221?3k1?3k 设E?x1,y1?,F?x2,y2?,则y1?y2??
PE??x1?2,y1?,PF??x2?2,y2?
?PE?PF??x1?2??x2?2??y1y2?ky1?ky2?y1y2?1?k2y1y2???9?1?k2?1?3k2
=3?6?9???3,?
1?3k2?2???9?2? ?PE?PF的取值范围是?3,?.
[点评]此题主要考查如何用平面向量的知识解决来平面几何的问题，涉及了向量的几何意义和
基本运算，同时考查了直线和圆锥曲线相交问题、求轨迹方程及函数的值域等基本知识，体现了解析几何的基本思想，是一道比较好的综合题.
练习
1.已知向量c??0,1?,i??1,0?,经过原点O以c??i为方向向量的直线与经过定点(0,1)以
i?2?c为方向向量的直线交于P其中λ∈R则点P的轨迹方程为 2x2?y2?y?0
[点评]此题考查向量的基本运算、直线方程以及交轨法求轨迹方程等知识，涉及的知识点较多，
具有一定的综合性.
2.如果把直线x-2y+c=0沿向量a??1,?2?平移,所得直线与圆x?y?2x?4?0相切,则
22实数c的值是 9或-1
[点评]此题主要考查直线与圆相切问题，由于平移的介入增加了题目的难度，准确求出平移
后直线的方程是本题的关键. 3. 如图:已知?OQF的面积为s,且OF?FQ?1(1)若θ的范围(2)设OF?c?c?2?,s?13?s?,求向量OF与FQ的夹角223c,以O为中心F为焦点的椭圆经过点Q,求Q点的纵坐4y Q 标．(3)在(2)的条件下,当OQ取最小值时,求椭圆的方程.
?1?|OF|?|FQ|?sin??????S?1?[解析](1)由题意得?2 ?|OF|?|FQ|?cos??1?2??
O F x ?1?得tan??2S.
?2?13?S??1?tan??3 22 又
0??????4????3
（2）以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系
x2y2 设椭圆方程为2?2?1?a?b?0?，Q?x0,y0?，则FQ??x0?c,y0??y0?0?.
ab 由S?3133c得|OF|?y0?c ?y0? 42421(3)OF?FQ?c?x0?c??1,?x0?c?
c?|OQ|?x0?y0221?9???c????c?2?
c?4?215f?c??c?在?2,???上单调递增，?当c?2时，f?c?min?
c2此时x0?53?53?,y0?，即|OQ|取最小值时Q点的坐标为?,? 22?22?9?25??1?22由点Q在椭圆上且c=2得?4a24b2，解得a?10,b?6
?a2?b2?4?x2y2??1. 所以椭圆方程是
106[点评]此题考查了平面向量的数量积、夹角、向量的坐标运算、利用函数的单调性求最值以及
求椭圆的标准方程等知识点，是一道综合性极强的题，对学生的要求较高，考查了综合解题能力.
4.已知两点M??1,0?,N?1,0?且点P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差数列.（1）点P的轨迹是什么图形？（2）若点P的坐标是(x0,y0),设θ是PM与PN的夹角，求tanθ.
[解析] (1) 设P(x,y), 则
MP??PM??x?1,y?,PN??NP??1?x,?y?,MN??NM??2,0?
∴MP?MN?2?x?1?,PM?PN?x2?y2?1,NM?NP?2?1?x? ∵三者构成公差小于零的等差数列，
∴2x?y?1?2?x?1??2?1?x?且2?1?x??2?x?1??0
22??22即x?y?3,?x?0?∴p点轨迹是以原点为圆心,3为半径的圆在y轴右侧的半圆.
(2)由(1)知PM?PN?x0?y0?1?2，
22|PM|??x0?1?2?y02?4?2x0，|PN|?2?x0?1?2?y02?4?2x0
∴|PM|?|PN|?4?2x0?4?2x0?24?x0
∴cos??PM?PN|PM|?|PN|3?x0?2?224?x02?14?x02?0，∴sin??3?x04?x022
∴tan??y0?|y0|
2[点评]此题考查了平面向量的数量积、等差数列、求轨迹的方法、三角函数的知识，是一道综
合题，看起来比较复杂，认真做起来并不难，而同学们在做的时候得分并不高，主要是书本上各知识点和基本知识、基本技能掌握得不够牢固，所以在复习中应注意双基的复习，不能好高骛远.
向量在解析几何中的应用
