浅析大衍求一术及其教育价值
●刘 超
【摘 要】大衍求一术是解一次同余式组的一种方法．关于它的产生要从“孙子问题”说起．“孙子问题”是指我国古代《孙子算经》中下卷的第26题“物不知数”，历代都有人研究，名称很多．例如：宋代周密《志雅堂杂钞》卷下的“鬼谷算”、“隔墙算”，宋代杨辉《续古摘奇算法》中的“秦王暗点兵”，明代程大位《算法统宗》中（1593年）的“物不知数”、 【期刊名称】中学教研：数学版 【年(卷),期】2009(000)001 【总页数】3
【关键词】教育价值;《孙子算经》;《算法统宗》;第26题;同余式;程大位;宋代;杨辉
大衍求一术是解一次同余式组的一种方法.关于它的产生要从“孙子问题”说起.“孙子问题”是指我国古代《孙子算经》中下卷的第26题“物不知数”，历代都有人研究，名称很多.例如：宋代周密《志雅堂杂钞》卷下的“鬼谷算”、“隔墙算”，宋代杨辉《续古摘奇算法》中的“秦王暗点兵”，明代程大位《算法统宗》中(1593年)的“物不知数”、“韩信点兵”等.南宋秦九韶对它作了理论探讨，并定名“大衍求一术”.1852年英国人伟烈亚力以《中国算术科学摘记》为题，介绍了“大衍求一术”.1856年被译成德文，1862年又被译成法文，1874～1876年德国人马提生(A.Matthiessen，1830～1906)又先后向西方介绍了此方法，从而使中国独特而古老的算法受到世人瞩目，被命名为中国剩余定理.“大衍求一术”的原理实际上与德国数学家高斯(C.F.Gauss,1777～
1855)于1801年在《算术探究》发表的一次剩余定理一致，而时间晚于孙子一千五、六百年，晚秦九韶也有五、六百年.
“物不知数”来自于简单的生活实际问题，但问题解决过程中抽象出来的计算方法不仅具有重要的使用价值，而且是初等数论中同余理论的重要基础.为深入研究大衍求一术，将“孙子问题”及其解决过程呈现如下.
1 问题现实情境
《孙子算经》卷下第26题：“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”答曰:“二十三”.
2 问题解决过程与方法
《算经》术曰：“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十.并之得二百三十二.以二百一十减之，即得.凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五.一百六以上，以一百五减之，即得”.如果用现代数学符号表示,“孙子问题”可以记作以下的一次同余式组:
要解同余式组(1),先要解出一组正整数α,β,γ,使其满足以下的同余式组: 根据同余式组(2)可得: 由此得
此时,易知35α×2+21β×3+15γ×2为同余式组(1)的一个特殊解.如果x是另外一个解,那么x-(35α×2+21β×3+15γ×2)必定是3,5,7的公倍数.由于(3，5，7)=105，所以同余式组(1)的解可表为 x≡35α×2+21β×3+15γ×2(mod 105).
不难发现，“孙子问题”解决的关键在于先解出一组正整数α,β,γ，使其满足同
余式组(2).“孙子问题”的解法,后来推广成为以下的中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem):
设m1,m2,…,mk是两两互质的自然数，M=m1×m2×…×mk.如果存在整数αi(i=1,2,…,k)，使得 那么同余式组 的解可表为
x≡α1r1+α2r2+…+αkrk(mod M).
《孙子算经》之后,由西汉到宋朝的千余年间,有很多天文学家和数学家都对一次同余式问题进行了研究.到南宋的数学家秦九韶时,便发展成为一个解联立一次同余式组的系统方法,称为“大衍求一术”,记载在他的著作《数书九章》之中.
3 大衍求一术
1247年，秦九韶把上述算法推广到一般情形，得到“大衍求一术”.所谓“大衍求一术”,是指求整数α使其满足αG≡1(mod m)的方法，其中m,G是给定的互质自然数，m称为定母，G称为衍数，α为乘率.若mlt;G，则先以m除G，得除数G1，然后求整数α使其满足αG1≡1(mod m).根据《数书九章》所述,求乘率α的步骤是这样的:
置奇右上,定居右下,立天元一于左上.先以右上除右下,所得商数与左上一相生,入左下,然后乃以右行上下以少除多,递互除之,所得商数随即递互累乘,归左行上下,须使右上末后奇一而止.乃验左上所得以为乘率,或奇数已见单一者便为乘率. 这段古文是说，运算开始时于右上、右下分别填上G1和m,然后于左上、左下分别填上1和0.运算时把右上、右下两数辗转相除,同时把除得的商数与左上、左下两数轮流增乘,直至右上数变成1为止,此时左上数即为所求之乘率α.为便
浅析大衍求一术及其教育价值
