第28届北京市高中力学竞赛决赛试题答案
（景山学校杯）
一、 填空题
1．甲拉绳做的功是乙拉绳做的功的2倍.
2．有功夫的人能根据鸟对手掌的轻微作用调节手掌的起伏，使鸟腿不能蹬手，无力起飞.
3．起跳到离开高台的阶段，人蹲高台使人体质心加速上升；加速下蹲阶段和离开高台上升到下降落水阶段，下蹲过程人体质心加速下降，离开高台后加速度为重力加速度. 4.
图1
5. 2.7mg ，0.6R
6. 不能；如果A端能滑到桌边，这过程一开始阶段绳的水平动量增大，后来一阶段水平动量减小，但绳所受重力和桌面的作用力没有沿水平向左的力使动量减小.
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二.计算题
7.解： 出射前对空间站与发射物体运用牛顿第二定律：
mmv
Gm2?m0 rr
空间站与发射物体出射前后动量守恒：
mv0?m1v1?m?m1
2??v空空间站与月球组成的系统，以月球中心为参考点， 角动量守恒：(m?m1)v空?r?(m?m1)vQ?R
机械能守恒：
mm(m?m1)1mm(m?m1)122(m?m1)v空?G?(m?m1)vQ?G 2r2Rm 联立得：
v1?2Rm?m1mGmm?1?(1?)??m1r?mr?Rm?8. 解：(1) 两球连线与钉相碰后，因球1所受径向力大于球2所受径向力，所以球1与钉的距离增大，球2与钉的距离减小.直到两球在线方向分速度均为零时，小球1与钉的距离最大.
(2)设小球1与钉的距离最大时两球速度分别为v1、v2.两球分别对钉所在点角动量守恒，且两球总机械能守恒.
mv?a?mv1?x对球1角动量守恒： (1)
对球2角动量守恒： (2) mv?3a?mv2（?4a?x）
对于整个系统角动量守恒：
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mva?mv?3a?mv1x?mv2?4a?x? (3)
1212122?mv?mv1?mv2系统机械能守恒： (4) 222由(1)(2)式得：
v1?0.605vv2?1.278v或由(1)(4)或(2)(4)或(3)(4)式得：
9. 解：设小球B的质量m=0.2kg，原来与固定点A的距离r0=0.4m，当速率为v时，与A点距r=0.8m，弹性绳自由伸展的长度为d=0.6m. 小球B的速率由v0→v的过程中，作用在小球B上的力对过A点轴的力矩之和始终为零，因而小球对A点的角动量守恒，有
v1?0.605vv2?1.278v??rr0mv0sin30o= rmv (最大距离时， ? v ) (1)
另外，在此过程中，只有保守内力（绳的弹力）做功，因而能
12221mv0?1k(r?d)?mv222量守恒，
(2)为求解方便，将(1)(2)化简，并代入已知数据可得：
v0?4v(1)'v0?1.6?v22(2)'解此方程组，求得：v0 ≈1.3 m/s v ≈0.33 m/s
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10. 解法一： 如图2所示
x?AC?OACOS900????
???OBA?900????
?OAB?900????
??AOB?2?
?x?lsin2?cos?????sin??????l?2??1?sin2??sin2??? lOAsin2??sin?900????? ?OA?lsin2??cos?????图2
解法二：以三力交汇点为轴
?l?x?tan?900??????xtan?900?????
x?1?cot?l900??????tan?900?????
解法三：由力平衡和力矩平衡
水平：F合2sin??????F合1sin????? 竖直：F合1cos??????F合2cos??????mg
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对C： F合1cos??????x?F合2cos??????l?x? 或对左侧接触点
mgx?F合?lsin?900?????
解法四： 分别用支持力和摩擦力列平衡方程（参照解法三）
如: Nlsin?900????flsin??mgx?0
x?tan?????l tan??????tan?????tan?????x'?l?x?l tan??????tan?????讨论：
l?sin2??l?sin2??（1）?1???x??1??；
2?sin2??2?sin2??（2）若???，或??900-?，任何情况都平衡。
11.解法一：设绳拉紧的瞬时，A的速度为v1，B的速度为v2，取如图3所示的坐标系，在y方向系统不受外力，动量守恒：
mv0?mv1y?mv2 (1)
A对B原所在的位置角动量守恒：
lmv0?mv1xlsin??mv1ylcos? (2)
2图3
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力学竞赛-力学竞赛13~28届-第北京市高中决赛试题答案
