第六节 直接证明与间接证明
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点.
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点.
知识梳理 一、直接证明
1．综合法：从题设的已知条件出发，运用一系列有关已确定真实的命题作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法．综合法的推理方向是由已知到求证，表现为由因索果，综合法的解题步骤用符号表示是：P0(已知)?P1?P2?…?Pn(结论)．
特点：由因导果，因此综合法又叫顺推法．
2．分析法：分析法的推理方向是由结论到题设，论证中步步寻求使其成立的充分条件，如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，从而使命题得证，表现为执果索因，分析法的证题步骤用符号表示为B(结论)?B1?B2?…?Bn?A(已知)．
特点：执果索因，因此分析法又叫逆推法或执果索因法． 二、间接证明
假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．
1．反证法的解题步骤：否定结论—推演过程中引出矛盾—肯定结论． 2．反证法的理论依据是：原命题为真，则它的逆否命题为真，在直接证明有困难时，就可以转化为证明它的逆否命题成立．
3．反证法证明一个命题常采用以下步骤： (1)假定原命题的结论不成立；
(2)进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾；
(3)由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的； (4)肯定原来命题的结论是正确的． 即“反设—归谬—结论”．
4．一般情况下，有如下几种情况的证明题目常常采用反证法：
第一，问题共有n种情况，现要证明其中的1种情况成立时，可以想到用反证法把其他的n－1种情况都排除，从而肯定这种情况成立；
第二，命题是以否定命题的形式叙述的； 第三，命题用“至少”、“至多”的字样叙述的；
第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的．
基础自测
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是( ) A．t＞s
B．t≥s
C．t＜s D．t≤s
解析：因为s－t＝a＋b2＋1－a－2b＝(b－1)2≥0，所以s≥t. 答案：D
2．实数a、b、c不全为0是指( ) A．a、b、c均不为0 B．a、b、c中至少有一个为0 C．a、b、c至多有一个为0 D．a、b、c至少有一个不为0
解析：不全为“0”并不是“全不为0”，而是“至少有一个不为0”．故选D. 答案：D
3．(2012·广东六校联考)定义运算法则如下：ab＝a2＋b3，a b＝lg a2－lg b.若M＝24
1125
1
1
8
，N＝2
1
，则M＋N＝__________. 25
解析：由定义运算法则可知，
9312535＋＝＋＝4， 4822
1
M＝2
4N＝2?
125＝8
1?11
＝lg(2)2－lg??25?2＝lg 2＋lg 5＝1， 25
∴M＋N＝5. 答案：5
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第六节直接证明与间接证明 文
