第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题
1． 对偶问题和对偶变量的经济意义是什么
2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么
3．什么是资源的影子价格它和相应的市场价格之间有什么区别
4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系
5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解
6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）xn?k 义是什么 )
7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量xn?k的检验数?n?k 求最小值），其经济意义是什么 8．将aij?0，其经济意
?0（标准形为
,cj,bi的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解
将会出现什么变化有多少种不同情况如何去处理 二、判断下列说法是否正确
1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。 ]
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。 6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量yi 划中，第i种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量yi 划中，第i种资源一定还有剩余。 8．对于aij???0，说明在最优生产计 ?0，说明在最优生产计
,cj,bi来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围
之后，线性规划的最优解就会发生变化。
9．若某种资源的影子价格为u，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 ku。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量xi?0，且xi所在行的
-
所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
三、写出下列线性规划的对偶问题 （1）maxZ?3x1?2x2?x3 （2）maxz?2x1?2x2?3x3?x4
?x1?x2?2x3?5?4x?2x?x?7?123 ? ； ?3x1?2x2?x3?9??x1,x2,x3?0（3）min?x1?x2?x3?x4?12?2x?x?3x??1?123 ； ??x3?x4?3?x1??x1,x2?0,x3,x4无约束z?x1?2x2?3x3 （4）minz?x1?x2?2x3
?3x1?x2?2x3?5?2x?4x?x?7?123 ? ；
?x?2x?4x?1023?1??x1,x2?0,x3无约束（5）max?2x1?x2?2x3?7?2x?3x?x?5?123 ； ??3x?5x?4x?3123???x1,x2?0,x3无约束z?7x1?4x2?3x3 （6）minz?5x1?4x2?3x3
?4x1?2x2?6x2?24?3x?6x?4x?15?123 ? ；
5x2?3x3?30???x1?0,x3?0,x2无约束四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题 （1）min）
?7x3?8?2x1?8x?5x?4x?15?123 。 ?4x2?6x3?30???x2,x3?0,x1无约束Z?3x1?2x2?x3 （2）maxz?2x1?2x2?4x3
?x1?x2?x3?6?x?x3?4?1 ? ；
x2?x3?3???x1,x2,x3?0（３）min?2x1?3x2?5x3?2?3x?x?7x?3?123 ? ；?x1?4x2?6x3?5??x1,x2,x3?0
z?12x1?8x2?16x3?12x4 （４）minz?5x1?2x2?4x3
?2?2x1?x2?4x3?3x1?x2?2x4?7?? ?2x1?2x2?4x4?3 ； ?6x1?3x2?5x3?12 ；
?x,x,x,x?0?x,x,x?01234??123五、对下列问题求最优解、相应的影子价格及保持最优解不变时cj与bi的变化范围。 （１）maxz?x1?x2?3x1 （２）maxz?9x1?8x2?50x3?19x4
?2x1?x2?2x3?2? ?3x1?2x2?x3?3 ； ?x,x,x?0?123（３）maxz?3x1?2x2?10x3?4x4?18? ?4x3?x4?6 ； ?x,x,x,x?0?1234?x1?4x2?3x3 （４）maxz?6x1?2x2?10x3?8x4
?5x1?6x2?4x3?4x4?202x?2x?x?4?123?3x?3x?2x?8x?25?1?234 ． ?x1?2x2?2x2?6 ； ?4x?2x?x?3x?10234?1?x,x,x?0?123??x1,x2,x3,x4?0六、已知下表（表3—1）为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中x4量，问题的约束为 形式
表 3—1 ） ,x5为松弛变
x1 x3 x1 5/2 ,x2 1/2 －1/2 －４ x3 1 0 /x4 1/2 －1/6 －４ x5 ０ 1/3 －２ 0 1 0 cj?zj 5/2 0 （１）写出原线性规划问题； （２）写出原问题的对偶问题；
（３）直接由表３—１写出对偶问题的最优解。
七、某厂利用原料Ａ、Ｂ生产甲、乙、丙三种产品，已知生产单位产品所需原料数、单
件利润及有关数据如表1—4所示，分别回答下列问题： ！
表 ３—２
甲 乙 丙 原料拥有量 A 6 3 《5 45
《运筹学》第3章习题
