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林初中2017届中考数学压轴题专项汇编:专题15角含半角模型(附答案)

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AGDFBE图4GHDFAB

CE图5C

(3)如图5,将△ABE绕点A逆时针旋转1 50°至△ADG.连结AF. 由题意可得∠BAE=60°

所以△ABE 和△ADG均为等腰直角三角形. 过点A作 AH⊥DG于点H.则 DH=

13AD=40m,AH= AD=403 m. 22而DF=40(3-1)m. 所以∠EAF=∠GAF=45°. 可得△EAF≌△GAF(SAS).

所以EF =GF=80m+40(3-l)m≈109. 2m.

例2如图,正方形ABCD的边长为a,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MA N=45°.连结MC、NC、MN.

(1)与△ABM相似的三角形是 ,BMDN= (用含有a的代数式表示);

(2)求∠MCN的度数;

(3)请你猜想线段BM、DN和MN之间的等量关系,并证明你的结论. ADBNCM

2解:(1)△NDA,a.

(2)由(1)可得所以

BMAB?, ADNDBMDC?. BCDN易证∠CBM=∠NDC=45°, 所以△BCM∽△DNC. 则∠BCM=∠DNC,所以

∠MCN =360°一∠BCD一∠BCM一∠DCN =270°- (∠DNC+∠DCN) =270°-(180°-∠DNC) =135°.

(3) BM2?DN2?MN2,证明如下:

如图,将△ADN绕点A顺时针旋转90°,得到△ABE,连结EM. 易得AE=AN. ∠MAE=∠MAN=45°,∠EBM=90°, 所以△A ME≌△AMN.(SAS). 则ME=MN.

在Rt△BME中,BM?BE?EM

222 所以BM?DN?EM.

222ADBNCM

E 倒3 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,AB=BC+AD,∠DAC=45°,E为CD上一点,且∠BAE=45°.若CD=4,求△ABE的面积.

BCEA图1D

解:如图1.过点A作CB的垂线,交CB的延长线于点F.由∠DAC=45°,∠ADC=90°,可得AD=CD.

所以四边形ADCF为正方形. 从而AF= FC=4.

令BC=m,则AB=4+m,BF=4-m. 在Rt△AFB中,有16+(4-m)2一(4+m)2 所以AB=5,BF=3.

如图2.将△ADE绕点A逆时针旋转90°至△AFG. 易证△AGH≌△AEB.

令DE=n,则CE=4 -n,BE=BG=3+n

在Rt△BCE中,有1+(4-n)2=(3+n)2,解得n=所以BG=

4. 725. 7150AFBG?. 27从而S?ABE?S?ABG?GFBCEA进阶训练

1.如图,等边△ABC的边长为1,D是△ABC外一点且∠BDC=120°,BD=CD,∠MDN =60°,求△AMN的周长.

图2D

ANMBD△AMN的周长是2

【提示】如图,延长AC至点E,使得CE =BM,连结DE .先证△BMD≌△CED,再证△MDN≌△EDN即可.

C

ANMBD

2.如图,在正方形ABCD中,连结BD,E、F是边BC,CD上的点,△CEF的周长是正方形ABCD周长的一半,AE、AF分别与BD交于M、N,试判断线段BM、DN和MN之间的数量关系,并证明.

ANFMBECDCE

解:BM2+DN2=MN2.

【提示】由△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,想到“正方形角含半角”,从而旋转构造辅助线解决问题(如图1),证△AEF≌△AGF,得∠MAN=腰直角三角形含半角”(如图2)即可证得.

1∠BAD=4,然后,再由“等2GANNFMBE图1CBME图2DAHGDFC

3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在边AB上,DE⊥BC于点E,且DE=BC,点F在边AC上,连结BF交DE于点G,若∠DBF=45°,DG=

27,BE=3,求CF的长. 5ADGBEFC

解:CF=

12. 5【提示】如图,将DE向左平移至BH,连结HD并延长交AC于点I,则四边形HBCI为正方形.将△BHD绕点B顺时针旋转90°至△BCJ,则点J在AC的延长线上.连结DF,由“正方形角含半角模型”可得DF=DH+CF,∠DFB=∠JFB=∠DGF,所以DF=DG,从而求得CF的长.

林初中2017届中考数学压轴题专项汇编:专题15角含半角模型(附答案)

AGDFBE图4GHDFABCE图5C(3)如图5,将△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG.连结AF.由题意可得∠BAE=60°所以△ABE和△ADG均为等腰直角三角形.过点A作AH⊥DG于点H.则DH=13AD=40m,AH=AD=403m.22而DF=40(3-1)m.所以∠EAF=∠GAF=45°.
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