专题15 角含半角模型
破题策略
1． 等腰直角三角形角含半角
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上且∠DAE＝45° （1） △BAE∽△ADE∽△CDA （2）BD2＋CE2＝DE2．
A45°BDEC
证明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB， 所以△BAE∽△ADE∽△CDA．
（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连结EF．
A45°FBDEC
则∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD，所以△ADE∽△FAE （ SAS ）． 所以DE＝ EF．
而CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°， 所以BD2＋ CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2．
方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F，连结AF，DF，EF．
A45°BDFEC
因为∠BAD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF， 又因为∠BAD＝∠DAF，
则∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC， 所以△FAE∽△CAE（SAS）． 所以EF＝ EC．
而DF＝BD， ∠DFE＝∠AFD＋ ∠AFE＝90°， 所以BD2＋ EC2＝ FD2＋ EF2＝ DE2．
【拓展】①如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D 在BC 上，点E 在BC 的延长线上，且∠DAE＝45°，则BD2＋CE2＝DE2．
ABDCE
可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图：
FAAFBDCEB
DCE
②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，且∠DAE＝数为180°－∠BAC．
A1∠BAC，则以BD，DE，EC为三边长的三角形有一个内角度2BDEC
可以通过旋转、翻折的方法将BD，DE，EC转移到一个三角形中，如图：
AAFBBDFECDEC
2． 正方形角含半角
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，连结EF，
则：
B45°EABEGABHE45°ACF图1DCF图2DCF图3D
（1）EF＝BE＋DF;
（2）如图2，过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AD;
（3）如图3，连结BD交AE于点H，连结FH． 则FH⊥AE． （1）如图4，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADI证明．
BEACF图4DI
则∠IAF＝∠EAF＝45°，AI＝AE， 所以△AEF∽△AIF（SAS）， 所以EF＝IF＝DI＋DF＝BE＋DF．
（2）因为△AEF∽△AIF，AG⊥EF，AD⊥IF， 所以AG＝AD．
（3）由∠HAF＝∠HDF＝45°可得A，D，F，H 四点共圆， 从而∠AHF＝180°－∠ADF＝90°，
即FH⊥AE．
【拓展】①如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC 的延长线上，∠EAF＝45°，连结EF，则EF＝DF－BE．
EBAFCD
可以通过旋转的方法来证明.如图:
EAB
FCGD
②如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD 中，AB=AD，∠BAD+∠C=180 °，点E，F分别在BC、CD上，∠EAF=
1∠BAD，连结EF，则EF=BE+DF. 2BAECFD
可以通过旋转的方法来证明.如图:
BAEC
FDG
例题讲解
例1 如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°. （1） 试判断BE、EF、FD之间的数量关系.
（2） 如图2，在四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD．∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在BC、CD上，则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时，仍 有EF＝BE＋FD.
（3）如图3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB＝AD ＝80m，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC，CD上分别有景点 E，F，且AE⊥AD．DF＝40（3－1）m．现要在E、F之间修一条笔直的道路，求 这条道路EF的长．（结果取整数，参考数据：2＝1.41，3＝1.73）
ADFADDFBEC图2FABC
BEC图1E图3解： （1）由“正方形内含半角模型”可得EF＝BE＋FD． （2）∠BAD＝2∠EAF，理由如下：
如图4，延长CD至点G，使得DG＝BE．连结AG. 易证△ABE≌△ADG（SAS）. 所以AE＝AG，
即EF＝BE＋DF＝DG＋DF＝GF. 从而证得△AEF≌△AGF（ SSS）． 所以∠EAF＝∠GAF＝
11∠EAG＝∠BAD. 22
林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题15角含半角模型(附答案)
