连续统假设的终结
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连续统假设的终结
李明波
(中国 辽宁 鞍山)
提要：在以康托尔（Ｃaｎtｏr）等数学家建立的集合论基础理论前提下，证明了实数集合是可数集合,并指出了康托尔证明实数集合不可数的错误所在。数学史上的连续统假设，其实是个根本不该存在的问题。
一、实数集合可数性的证明
在以康托尔等数学家建立的集合论基础理论[1，２,３］前提下，本文首先概括出所需的4个公设:
1、实无穷集合是存在的，自然数集合是最为基本的实无穷集合。 2、两个实无穷集合比较大小的法则是一一对应关系;能和自然数集合建立一一对应关系的实无穷集合是可数集合，否则是不可数集合。
3、数轴上的所有点和全体实数一一对应;所有实数都可看成10进制数；无限小数看成是其不足或过剩有限小数数列的极限；有限小数也可看成是后面有无穷多个0 或末位数字减1后续上无穷多个9的无限小数。
4、数轴上全部10进制实数的生成过程如下：在规定长度单位1和数轴原点后,从数轴原点开始在数轴正向（负向同理)作出间距为１的刻度点0，1,2,3,…，n,… ;将每段长度为1的线段进行10等分,加密到间距为0.1的刻度点;再将每段长度为0.1的线段进行10等分,加密到间距为0.０１的刻度点；…;将上次得到的每段最小长度线段再10等分加密刻度点;以此循环往复,次数趋于无穷，则数轴上这些无限稠密的刻度点位置，便
与全体非负10进制实数一一对应。
证明:第４条公设其实是对所有非负实数，进行了精确到 整数、小数点后1位小数、小数点后2位小数、小数点后３位小数、…、小数点后m位小数、… ,以至趋于精确到小数点后无穷多位小数这个极限过程的无穷描述（n和m都是自然数,从0起趋于无穷)，写成数阵如下:
0列 1列 2列 3列 …， n
列 …
0行: 0, 1/10^０, 2／10＾0， ３/10^0, …, n／10^0,… 1行： 0， 1/1０^１, 2/10^1, ３/１0＾1， …, ｎ／10^１,…
2行： ０, 1/1０＾2， 2/10＾２， 3/１0^2， …, n/１0^2，…
３行： 0, １/１0^3， ２/10^３, 3／10＾3， …， ｎ/1０＾３，…
… … … … … … … …
m行： 0, 1／10^m， 2/10^m, 3／10^ｍ， …, n/10＾ｍ，…
… … … … … … … …
例如:0行中有０,1行中有０.3和0.４，2行中有０.33和０．34,３行中有0.３33和０.3３4,…,所以该数阵0、1、2、3、… 行中依次含
有有限小数数列｛ ０, 0.３， 0.３3, 0.33３,… }和{ 0, 0．4, 0.34， 0.３3４，… ｝中的各个项,而数列｛ ０， 0.3, ０.３3, 0.33３, … }和｛ 0， 0.４, 0.34, 0.334，… ｝的极限,都是同一无限小数0.３３3… =1/3。
上述数阵把全部非负实数的生成过程，列成了可数个可数集合的并集，故仍然是可数的；用对角线法也可证明：实数集合是可数集合。
二、李明波悖论
笔者编出一个悖论:自然数集合是不可数的。“证明”如下： 自然数数列是 0，1，2，3，…,n，… ，总可以找到这样的自然数，让它不在上述数列之中。
该自然数首先不是0，因为１就不是0；它也不是1，因为2就不是0,1;它又不是２，因为3就不是0,１,２;它还不是3,因为4就不是0，1，2,3;…;它就连可以是任意大的ｎ都不是，因为n＋１就不是0,1,2，３，…,n；以此类推以致无穷。即便自然数集合再大，总能找出不在其中的自然数,所以,自然数集合不可数。证毕。
上述悖论的错误在于:每次举出不在0，１,2,３，…,n之中的那个自然数，其实都在自然数数列的后半部n+1,n+2,n＋3, … 里面。
三、康托尔证明实数集合不可数的错误所在 1、康托尔证明实数集合不可数的方法
只考虑证明[０，1］区间实数不可数即可，而证明所有实数不可数与此法类似。将［0,１］区间实数x用无限小数写成
[2]
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