自招竞赛秋季数学讲义
调整法证明不等式
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知识定位 调整法是证明不等式以及求代数式最值的常用手法，基本方法是把不等式中所有出现变量的项放在不等号的左侧，常数项放在右侧，通过严格求出左侧的最值来证明不等号的成立性。一般可以通俗地分为两种类型：往中间调整和往两侧调整。本章将深入介绍两种调整办法的适用场合和使用方法以及其他的调整法。
知识梳理与例题精讲
一、 对于
?f(x)类的不等式的调整
i如果f(x)在区间D中二阶可导，x1,x2,,xn?D，则我们有如下的方法求
?f(x)的最大值、最小值：
i（1）f??(D)?0，则有
?i?1nf(xi)?nf(x1?x2?n?xn)（琴生不等式）
x?D?x?0，有 设x1??x?x，1?x2?x2??f(x1)?f(x2)?f(x1??x)?f(x2??x)
（2）f??(D)?0，则有
?i?1nf(xi)?nf(x1?x2?n?xn)（琴生不等式）
x?D?x?0，有 设x1??x?x，1?x2?x2??f(x1)?f(x2)?f(x1??x)?f(x2??x)
通俗地讲，就是下凸函数往中间调函数值变小，往两侧调函数值变大；上凸函数往中间调函数值变大，往两侧调函数值变小。
对于往中间调的函数值变化由琴生不等式保证，而往两侧调的函数值变化我们以（1）为例给出证明：
x1证明：f(x1)?f(x1??x)??x1??xf?(x)dx
f(x2??x)?f(x2)??x2??xx2f?(x)dx??x1x1??xf?(x?x1?x2??x)dx
因为f??(D)?0，所以f?(x)?f?(x?x1?x2??x)，
故
?x1x1??xf?(x)dx??x1x1??xf?(x?x1?x2??x)dx，
故f(x1)?f(x2)?f(x1??x)?f(x2??x)，得证。
事实上，在处理实际问题中，不一定能找到这样一个区间D有这样的性质且包含所有的xi，那就需要我们灵活运用其他如分类讨论等方法辅助处理。有时D在不具有二阶导数恒不变号的性质，但仍然有上述调整法成立，所以我们在实际做题的过程中往往可以直接用具体的f(x)来证明这样调整的合理性而不依赖于其凹凸性。
在不等式中没有具体的f(x)存在但每个变量地位对称的时候，这种考虑往中间调整、往两侧调整的方法也是极为重要的，这就需要直接拿两项来看，究竟是往中间调整总体变大呢，还是往两侧调整总体变大呢，然后给出严格的证明，接着就能用两项的调整法逐步将n 项向两侧或中间调整，求得最值。 【例1】 【题目来源】
?【题目】设a,b,c?R，a?b?c?3，证明：8a?1?8b?1?8c?1?9
【解析】令f(x)?8x?1
x? f?(x)?4(8?1 )
?32128? f??(x)??16(x1?) 0a?b?c(?) 39 故由琴生不等式f(a)?fb(?)fc(?)f3【知识点】调整法证明不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【例2】 【题目来源】
【题目】设a,b,c?0，a?b?c?3，证明：8a?1?8b?1?8c?1?7 【解析】令f(x)?8x?1
12x? f?(x)?4(8?1 )
?328? f??(x)??16(x 故有f(a)?f(b)?【知识点】调整法证明不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 对
1?) 0f(0?)f?(ab?)f(?c)2f?(0)f?a(?b ?cf(c?)?f(x)类不等式的调整法已经较为成熟，且已形成常规套路，所以这里就举这两个
i例题帮助理解前面的两种调整法，不再过多赘述。下面着重介绍几个利用向中间、两侧调整思想的题。 【例3】 【题目来源】
【题目】若干个正整数和为2005，求它们积的最大值。 【解析】
【知识点】调整法证明不等式
【3-代数】10.调整法证明不等式【讲师版】
