小学奥数盈亏问题题库教师版

由天下分享时间：2024/12/26 0:11:49 加入收藏我要投稿点赞

盈亏问题

知识点说明：

盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．可以得出盈亏问题的基本关系式：

(盈?亏)?两次分得之差?人数或单位数 (盈?盈)?两次分得之差?人数或单位数 (亏?亏)?两次分得之差?人数或单位数

物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”. 注意1.条件转换 2.关系互换

板块一、直接计算型盈亏问题

【例 1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则

少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两

次搬砖，每人相差5?4?1（块）．第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7?2?9（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9?1?9（人）．共有砖：4?9?7?43（块）．

【巩固】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4

元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？【解析】 “多8元”与“多4元”两者相差8?4?4（元），每个人要多出8?7?1（元），因此就知道，共有4?1?4（人），蛋糕价钱是8?4?8?24（元）．

【巩固】老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，

那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？

【解析】老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是9?2?7（个），两次分配

之差是11?10?1（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：7?1?7（只），老猴子有7?10?9?79（个）桃子.

【巩固】有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班

有多少学生，多少练习本呢？【解析】由题意知：第一种方案：每人发5本多出70本；第二种方案：每人发7本多出10本；两种方案

分配结果相差：70?10?60（本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差：7?5?2（本），相差60本的学生有：60?2?30（人）．练习本有：30?5?70?220（本）（或30?7?10?220）．

【例 2】（2007年“走进美妙的数学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分

配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多只．【详解】当大猴分5个，小猴分3个时，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．也就是

说在大猴分5个，小猴分3个后，每只大猴都拿出1个，分给每只小猴1个后，还剩下20?10?10个，所以大猴比小猴多10只．

【巩固】学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，

还差2本，请问有多少老师？多少本书？【解析】 “差9本”和“差2本”两者相差9?2?7（本），每个人要多发10?9?1（本），因此就知道，共有老

师7?1?7（人），书有7?10?9?61（本）．

【巩固】幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有

多少块糖呢？【解析】由题意知：两次的分配结果相差：24?12?12（块），这是因为第一次与第二次分配中每人相差：

，多少人相差12块呢？12?3?4（人），糖果数是：6?4?12?12（块）（或9?6?3（块）． 9?4?24?12）

【巩固】王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30

元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？【解析】本题购物的两个方案，第一个方案：买7把差110元，第二个方案：买5把还多30元，从买7

把变成买5把，少买了7?5?2（把），而钱的差额为：110?30?140（元），即140元可以买2把小提琴，可见小提琴的单价是每把70元，王老师一共带了70?7?110?380（元）.

【巩固】工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这

批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？【解析】本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差100?20?120（元），

即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元．本例可假设250个花瓶都完好，这样可得运费20?250?5000（元）．这样比实际多得5000?4400?600（元）．

就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花

瓶．根据以上分析，可得损坏了．（20?250?4400）（?100?20）?5（个）

【例 3】某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，

问宿舍几间?住宿生几人? 【解析】由已知条件

每间5人少14个床位每间7人多4个床位

比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住(7?5)?2人，

一共要多出(14?4)?18个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数．解：(4?14)?(7?5)=9(间)

5?9?14?59(人)，或7?9?4?59(人)

【巩固】学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那

么其中有多少间大宿舍？【解析】如果30间都是小宿舍，那么只能住4?30?120（人），而实际上住了168人．大宿舍比小宿舍每

间多住6?4?2（人），所以大宿舍有．（这是一个鸡兔同笼，放在这里（168?120）?2?24（间）

做对比）

【巩固】智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6

粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？【解析】由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分4粒就多9

粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分糖果的同学的人数是15÷1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69（粒）.

【巩固】秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出

48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？【解析】题中告诉我们每天吃4个，多出48个萝卜；每天吃6个，少8个萝卜．观察每天吃的个数与萝

卜剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，萝卜从多出48个到少8个，也就是所需的萝卜总数要相差48＋8＝56（个）．从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个萝卜了．吃的天数：（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天），萝卜数：6×28－8＝160（个）或 4×28＋48＝160（个）．

板块二、条件关系转换型盈亏问题

【例 4】猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那

么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？【解析】猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是

，由盈亏问题公式得，有小猫：8?1?8（只），猫妈妈有8?10?8?88（条）鱼． 11?10?1（条）

【巩固】学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少9个，如果每人分3个

正好分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？【解析】第一种分配方案亏9个小玩具，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9个，两次分配之差是：

（个），由盈亏问题公式得，参与分玩具的同学有：9?1?9（人），有小玩具9?3?27（个）． 4?3?1

【巩固】学而思学校买来一批小足球分给各班：如果每班分4个，就差66个，如果每班分2个，则正好

分完，学而思小学一共有多少个班？买来多少个足球？

【解析】第一种分配方案亏66个球，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是66个，两次分配之差是4?2?2（个），由盈亏问题公式得，朝阳小学有：66?2?33（个）班，买来足球33?2?66（个）.

【巩固】一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位

学生？共多少粒糖果？【解析】第一种分配方案盈9粒糖，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9粒，两次分配之差是5?4?1（粒），由盈亏问题公式得，参与分糖的同学有：9?1?9（人），有糖果9?5?45（粒）．