高中数学课时分层作业15向量的减法（含解析）北师大版必修4
课时分层作业(十五) 向量的减法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，→AC－→
AD等于( ) A.→AB B.→BA C.→CD
D.→DB
A [→AC－→AD＝→DC＝→AB.]
2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( ) A.→AB－→
DC＝0 B.→AD－→BA＝→AC C.→AB－→AD＝→BD
D.→AD＋→CB＝0 C [∵→AB＝→DC，∴→AB－→
DC＝0，A正确； ∵→AD－→BA＝→AD＋→AB＝→
AC，B正确； ∵→AB－→AD＝→AB＋→DA＝→
DB，C错误；
∵→AD＝→BC，∴→AD＝－→CB，∴→AD＋→
CB＝0，D正确．]
3.如图，D，E，F分别是△ABC的边BC，AC，AB的中点，则(
A.→AD＋→BE＋→CF＝0 B.→BD－→CF＋→DF＝0 C.→AD＋→CE－→CF＝0 D.→BD－→BE－→FC＝0
A [→AD＋→BE＋→CF＝1→1→1→1→1→1→
2AB＋2AC＋2BA＋2BC＋2CA＋2CB＝0.]
4．在边长为1的正三角形ABC中，|→AB－→
BC|的值为( )
)
A．1 C.3 2
B．2 D.3
→→→→→
D [如图，作菱形ABCD，则|AB－BC|＝|AB－AD|＝|DB|＝3.]
5．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) →→→A.EF＝OF＋OE →→→C.EF＝－OF＋OE [答案] B 二、填空题
→→→→
6．已知OA＝a，OB＝b，若|OA|＝12，|OB|＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________. →→
13 [∵|OA|＝12，|OB|＝5，∠AOB＝90°， →2→2→2→
∴|OA|＋|OB|＝|AB|，∴|AB|＝13. →→→→→∵OA＝a，OB＝b，∴a－b＝OA－OB＝BA， →
∴|a－b|＝|BA|＝13.]
→→→→→
7.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则BA－BC－OA＋OD＋DA＝________.
→→→B.EF＝OF－OE →→→D.EF＝－OF－OE
→
[答案] CA
8．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角是________． →→→
30° [设OA＝a，OB＝b，则a－b＝BA， ∵|a|＝|b|＝|a－b|， →→→
∴|OA|＝|OB|＝|BA|，
∴△OAB是等边三角形， ∴∠BOA＝60°.
→
∵OC＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA. ∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.] 三、解答题
→→→→→
9.如图所示，在正五边形ABCDE中，若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，EA＝e，求作向量
a－c＋b－d－e.
→→→→→→→→
[解] a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e)＝(AB＋BC)－(CD＋DE＋EA)＝AC－CA＝AC＋→
AC.
→→
如图，连接AC，并延长至点F，使CF＝AC，则CF＝AC. →→→
所以AF＝AC＋AC，即为所求的向量a－c＋b－d－e.
→→→
10.如图所示，已知在矩形ABCD中，AD＝43，设AB＝a，BC＝b，BD＝c.试求
|a＋b＋c|.
→→→→→
[解] a＋b＋c＝AB＋BC＋BD＝AC＋BD.延长BC至E，使CE＝BC，→→→→→
连接DE.由于CE＝BC＝AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC＝DE，→→→→→→→→
∴AC＋BD＝DE＋BD＝BE，∴|a＋b＋c|＝|BE|＝2|BC|＝2|AD|＝83.
[等级过关练]
→→→→
1．平面内有四边形ABCD和点O，若OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状是( ) A．梯形 C．矩形
B．平行四边形 D．菱形
→→→→
B [因为OA＋OC＝OB＋OD， →→→→所以OA－OB＝OD－OC.
→→
即BA＝CD，又A，B，C，D四点不共线， →→
所以|BA|＝|CD|，且BA∥CD， 故四边形ABCD为平行四边形．]
→→→
2．若|AB|＝5，|AC|＝8，则|BC|的取值范围是( ) A．[3,8] C．[3,13]
B．(3,8) D．(3,13)
→→→→→→→→→
C [∵|BC|＝|AC－AB|，且||AC|－|AB||≤|AC－AB|≤|AC|＋|AB|. →→→
∴3≤|AC－AB|≤13.∴3≤|BC|≤13.]
→→→→→
3．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|BC|＝4，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则→
|AM|＝________.
→→→→
2 [以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，AD＝AB＋AC，CB→→＝AB－AC，
→→→→→→→→1→∵|AB＋AC|＝|AB－AC|，∴|AD|＝|CB|，又|BC|＝4，M是线段BC的中点，∴|AM|＝|AD21→
|＝|BC|＝2.] 2
→→→
4．如图，在正六边形ABCDEF中，与OA－OC＋CD相等的向量有________．
→→→→→→→→→→→→①CF；②AD；③BE；④DE－FE＋CD；⑤CE＋BC；⑥CA－CD；⑦AB＋AE. ①④ [因为四边形ACDF是平行四边形， →→→→→→所以OA－OC＋CD＝CA＋CD＝CF， →→→→→→→DE－FE＋CD＝CD＋DE＋EF＝CF， →→→→→CE＋BC＝BC＋CE＝BE，
→→→CA－CD＝DA，
因为四边形ABDE是平行四边形， →→→所以AB＋AE＝AD，
→→→
综上知与OA－OC＋CD相等的向量是①④.]
5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值． →→→→
[解] 在平面内任取一点A，作AD＝a，AB＝b，则AC＝a＋b，BD＝a－b. →→→
由题意，知|AB|＝|BD|＝2，|AD|＝1.
如图所示，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AB交直线AB的延长线于F.
11
∵AB＝BD＝2，∴AE＝ED＝AD＝.
22
AE1
在△ABE中，cos∠EAB＝＝，
AB4
在△CBF中，∠CBF＝∠EAB，
111
∴cos∠CBF＝，∴BF＝BCcos∠CBF＝1×＝，
444∴CF＝
1519，∴AF＝AB＋BF＝2＋＝. 444
2
2
在Rt△AFC中，AC＝AF＋CF＝∴|a＋b|＝6.
8115
＋＝6， 1616
高中数学课时分层作业15向量的减法(含解析)北师大版必修4
