一、 填空题（每小题3分，共18分） 1. 设A为n阶矩阵，且A?2，A*是A的伴随矩阵，则AA*? ??100??0??2. 若A???2x2???与B???3??相似，则?x,y?? . ?312???y??3. 设3阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B?E?A*，其中，A*是A的伴随矩阵，则B的行列式B? . 4设向量集合S为n维向量空间Rn的一个子集，则集合S构成向量空间的充要条件为 5. 二次型f(x221,x2,x3)?2x21?x2?x3?2tx1x2?2x1x3正定时，t应满足的条件是 6. . 实对称阵A的秩等于r，又它有m个负的特征值，则它的符号差为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1．设A是三阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ?C的可逆矩阵Q为（ ） ??010??010?A. ?100?????. B. ?101?101????001??. ???010???011? C. ?100?100???. D. ??. ?011????001?? 2．若向量组?,?,?线性无关;?,?,?线性相关,则( ) A．?必可由?,?,?线性表示. B.?必不可由?,?,?线性表示 C.?必可由?,?,?线性表示. D.?必不可由?,?,?线性表示. 3．设A是任一n(n?3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k?0,?1,则必有(kA)*?（ ） A.kA*. B.kn?1A*. C.knA*. D.k?1A*. 4. 若?1，?2，?3，?4是线性方程组Ax?0的基础解系，则?1??2??3??4是Ax?0的（ ） A. 解向量 B. 基础解系 C.通解 D. A的行向量 5. . R3空间中的3维向量（1,2,3）在一组基（3,0,0），（0,2,0），（0,0,1）下的坐标为（ ） A. (1,2,3) B. (3,2,1) C. (1,1,3) D. (1,132,13) 6. . 设A是4阶方阵, 则下列条件中( )与“秩(A) = 3”等价. A. A的列向量组线性无关, B. 行列式A?0, C. A的3阶子式都不为零, D. 齐次线性方程组A??0的基础解系中仅含有1个解向量. 三、判断题（每小题2分，共10分）（请在括号内填写“√”或者“×”） 1．设?1,?2,L,?m是n维向量组，向量空间V???1?1??2?2?L??m?m?1,?2,L?m?R?的维数等于R(?1,?2,L,?m) ( ) 2．. 设V??AATA?E.A?Mn?n}，对矩阵的数乘和加法，V构成线性空间. ( ) 3 .任意实方阵对应于不同特征值的特征向量一定正交. ( ) 4. 若任意矩阵A,B满足R(A)?R(B),则A与B等价( ) 5. 若实对称矩阵A是正定矩阵, 则它所有的特征值一定为正. ( ) 四、计算题（一）（每小题8分，共16分） 1?11x?11. 计算行列式行列式1?1x?1?11x?11?1的值 x?1?11?1 ??1?100??2134?2. 设B??01?10???, C??0213????021?且矩阵?满足关系式?001?1???0001???0???0002???X(C?B)T?E, 求?。 解： 五、计算题（二）（每小题12分，共24分） 1．问a,b为何值时,线性方程组 ??x1?x2?x3?x4?0,? ?x2?2x3?2x4?1,??x2?(a?3)x3?2x4?b, ??3x1?2x2?x3?ax4??1有唯一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解. 2．已知二次型f?2x2?3x2212?3x3?2ax2x3(a?0),通过正交变换化为标准形f?y22?5y21?2y23,求参数a及所用的正交变换矩阵. 六、证明题（14分，每小题7分） 1. 设?1,L,?k为齐次线性方程组Ax?0的一组基础解系，而?不是该齐次方程组的解，证明向量组?,???1,L,???k线性无关。 2. 设n阶方阵A为正定阵，证明则其伴随矩阵A*也为正定矩阵。
重庆大学《线性代数》模拟试题(3)
