概率的知识归纳与题型总结
一、概率知识点框架图
概率的基本性质 古典概型 几何概型 用随机模拟法求概率 概率 条件概率 事件的独立性 互斥事件 P(A＋B)＝P(A)＋P(B) 对立事件 P(A)＝1－P(A) P(B | A)＝P(A B) P(A)n次独立重复试验恰好发生k次的概率为 －kkPn(k)＝Cn p(1－p)nk X～B(1，p) E(X)＝p，D(X)＝p(1－p) X～B(n，p) E(X)＝np，D(X)＝np(1－p) P(A B)＝P(A)·P(B) 两点分布 随机变量
二、考试内容分析
常用的分布及期望、方差 二项分布 若Y＝aX＋b，则 E(Y)＝aE(X)＋b D(Y)＝a2D(X) 超几何分布 正态分布 概率重点考查的内容是利用等可能性事件、互斥事件和相互独立事件等概率的计算求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率；。
应用概率知识要解决的题型主要是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值得概率及期望、方差的求解计算；
三、题型分类、
考点1 考查等可能事件概率计算 ．．．
在一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件
A包含的结果有m个，那么
P(A)?m。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。求解等可能性事件的概率时，先确定本事件包含的有利n事件数和本试验的基本事件总数，然后代入概率公式即可. 常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。
例1：(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)
某次演唱比赛，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答三个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目。测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．
（I）求某选手在三次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；（P?1） 10（II）求某选手抽到体育类题目数?的分布列和数学期望E?. （E?
?3） 5练习：A、B两点之间有6条网线并联，他们能通过的信息量分别为1，1，2，2，3，3。先从中任取三条网线，设可通过的信息量为?，当可通过的信息量??6时，则保证信息畅通。
（1）求线路信息畅通的概率；（P?0.7） （2）求线路可通过信息量的数学期望.(E?
考点2 互斥事件有一个发生的概率
不可能同时发生的两个事件．．．．
?6)
A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A?B，用概率的加法公式
，则AP(A?B)?P(A)?P(B)计算。事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响、B叫做相．．．．互独立事件，它们同时发生的事件为．．．．
A?B。用概率的法公式P?A?B??P?A??P?B?计算。考试常结合考试竞赛、工作
等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。 必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。即B．．．．．．策略求解.用概率的减法公式P别及其概率计算进行考查。
例2 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为
1.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 6”的?A或A?B。至少、至多问题常使用“正难则反．．．．
?A??1?P(A)计算其概率。考试中常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识
（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；(P?125) 216?25) 27（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率. (P
练习1: 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立） （1）求至少3人同时上网的概率； （2）至少几人同时上网的概率小于0.3。
练习2: 某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是
假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.
(1) 求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；P43和. 54?61 125?27) 500 (2) 求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次的概率；(P (3) 工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格 的概率. (P
考点3 考查相互独立事件同时发生的概率与独立重复试验概率计算 ．．．．．．．．．．．．．．
若在n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做n次独立重复试验。若在1 ．．．．次试验中事件A发生的概率为P，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn?3) 64?k??CnkPk?1?P?n?k。
考试结合实际应用问题考查n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。
例3某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题。规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，
否则即遭淘汰。已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是
例4(竞技型)甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平 相当，且已知甲先赢了前两局，求：
（Ⅰ）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；P
311,,，且各阶段通过与否相互独立。 424?
3 8
?17 8（Ⅱ）设该选手在竞赛中回答问题的个数为?，求?的数学期望和方差。E?（1）乙取胜的概率；(P?3) 16?1) 4?5.5)
（2）比赛进行完七局的概率。(P（3）记比赛局数为?，求?的颁列为数学期望E?.(E?
练习1: （2013山东理）甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的
概率是
12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是,假设各局比赛结果相互独立. 23(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;
(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分
练习2:为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的1, 1, 1. 现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.
X的分布列及数学期望.
236 求：(Ⅰ) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(Ⅱ) 至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
练习3：（2013大纲）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局
当裁判,设各局中双方获胜的概率均为(I)求第4局甲当裁判的概率; (II)
1,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判. 2XX表示前4局中乙当裁判的次数,求
的数学期望.
考点4 考查随机变量概率分布与期望计算
主要考查等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验以及随机变量的分布列、数学期望等概念。解决此类问题解题思维的的流程是：要求期望，则必先求分布列，而求分布列的难点在于求概率，求概率的关键在于要真正弄清每一个随机变量“??k”所对应的具体随机试验的结果然后正确求出相应事件的概率。
例5 (2010大纲全国I)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3。各专家独立评审．
(1) 求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;(P?0.4)
(2) 记?表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求?的分布列及期望．(E?
例6 (2010山东) 某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有
?1.6)
A,B,C,D四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初始分
均为10分，答对问题A,B,C,D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；每位参加者按问题
A,B,C,D顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题
3111A,B,C,D回答正确的概率依次为,,,，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
4234(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；(P?0.25)
27（Ⅱ）用?表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求?的分布列和数学的E?.(E??)
8
例7 (2010北京) 某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为秀成绩的概率分别为分布列为
45，第二、第三门课程取得优
p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记?为该生取得优秀成绩的课程数，其
? p 0 1 2 3 6 125a d 24 125(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求
练习：[2012·全国卷] 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．
p，q的值；(Ⅲ)求数学期望E?。
概率的知识归纳与题型总结
