解析几何最值、范围、证明问题
x22
1．(2020·湛江一中周考)已知M，N分别是椭圆＋y＝1和圆C：x2＋(y－4)2＝1上的动
9点，则|MN|的最大值为( )
A．5 C．26＋1
B．6 D．33＋1
解析：圆心为(0，4)，设M(x，y)，
则|MC|＝x2＋（y－4）2＝－8y2－8y＋25， 1
又因为－1≤y≤1，所以当y＝－时，
2|MC|max＝33，则|MN|max＝33＋1. 答案：D
→→→→
x2y2
2．已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足|QM|＝1，且OM·PM＝0，则当|PM
916|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为( )
9A. 5C．4
12B. 5D．5
→→
解析：由OM·PM＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为124x±3y＝0，所以所求的距离d＝.
5
答案：B
x2y2
3．(2020·洛阳市期末)设P是椭圆＋＝1上的一点，M，N分别是圆(x＋3)2＋y2＝4
2516和圆(x－3)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的取值范围是( )
A．[7，13] C．[7，12]
B．[8，12] D．[8，13]
x2y2
解析：因为椭圆＋＝1，所以焦点坐标为F1(－3，0)，F2(3，0)，
2516因为两圆(x＋3)2＋y2＝4和(x－3)2＋y2＝1，
所以圆心坐标为(－3，0)和(3，0)，两圆的半径分别为R1＝2， R2＝1，
因为两圆的圆心位于椭圆的焦点上，
所以PF1－R1≤PM≤PF1＋R1，PF2－R2≤PN≤PF2＋R2，
所以PF1＋PF2－R1－R2≤PM＋PN≤PF1＋PF2＋R1＋R2， 所以7≤PM＋PN≤13，
所以|PM|＋|PN|的取值范围是[7，13]． 答案：A
x2y2
4．若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的
ab离心率的取值范围是( )
A．[3，＋∞) C．(1，3]
B．(3，＋∞) D．(1，3)
bb
解析：依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x＋2
aa＝0.
因为渐近线与抛物线有交点， b2
所以Δ＝2－8≥0，求得b2≥8a2，
a所以c＝a2＋b2≥3a， c
所以e＝≥3.
a答案：A
x2y2
5．(2020·黄石三中月考)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，
ab1
实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋6)2＝1
3上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为( )
A．8 C．10
B．9 D．11
解析：由题意可得2a＝6，即a＝3，
1
渐近线方程为y＝±x，
3b1
即有＝，即b＝1，
a3x22
可得双曲线方程为－y＝1，
9焦点为F1(－10，0)，F2(10，0)，
由双曲线的定义可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝6＋|MF1|， 由圆E：x2＋(y＋6)2＝1可得E(0，－6)，半径r＝1， |MN|＋|MF2|＝6＋|MN|＋|MF1|， 连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，
可得|MN|＋|MF1|取得最小值，且为|EF1|＝6＋10＝4， 则|MN|＋|MF2|的最小值为6＋4－1＝9. 答案：B
→→→
x2y2
6．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，|AM|＝1，且PM·AM＝
2516→
0，则|PM|的最小值是________．
→→→→
解析：因为PM·AM＝0，所以AM⊥PM. →→→→
所以|PM|2＝|AP|2－|AM|2＝|AP|2－1， 因为椭圆右顶点到右焦点A的距离最小， →→
故|AP|min＝2，所以|PM|min＝3. 答案：3 7．(2020·徐州一中月考)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F且斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M是抛物线C上一点，且M在直线l下方，则△MAB面积的最大值为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为直线l过点F，且斜率为2， 所以直线l的方程为y＝2x＋1，
2??x＝4y，y－1?2?联立?整理得＝4y，即y2－18y＋1＝0，
2???y＝2x＋1，?
则y1＋y2＝18，
故|AB|＝y1＋y2＋k＝18＋2＝20.
2??x＝4y，
设直线l′：y＝2x＋a，联立?
?y＝2x＋a，?
整理得x2－8x－4a＝0，
当直线l′与抛物线C相切时，Δ＝64＋16a＝0， 解得a＝－4，
则直线l与l′之间的距离d＝
|1＋4|＝5. 4＋1
2021年高考数学大一轮复习 平面解析几何 最值、范围、证明问题
