（2）在△CFD中，CF=∴灯带长L=
+
+
，FD=，在△CME中，CE=，EM=8tanθ
．
+8tanθ+16，θ∈（0，α]，其中α是锐角且tanα=8
∴L′=0，可得tanθ=1
此时BE=16米时，钢丝绳最短．
点评： 本题考查了函数在生产生活中应用，关键是寻找到合适的变量建立数学模型，利用数学的相关知识求解函数的最值．本题主要是应用函数的导数求解函数的最值，导数是求函数最值的通法．属于中档题．
20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x+a． （1）当a=0时，求函数y=f（x）?g（x）的单调区间； （2）当a∈R且|a|≥1时，讨论函数F（x）=
的极值点个数．
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 计算题；导数的综合应用．
分析： （1）当a=0时，y=f（x）?g（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），求导y'=lnx+x=lnx+1，由导数的正负确定函数的单调区间； （2）化简F（x）=
=
（x＞0且x≠1），求导并令导数为0，化为函
数y=xlnx有相同的函数值时，自变量分别为x+a，x；由（1）可得|a|＜1，故不成立，故当|a|≥1时，函数F（x）无极值点． 解答： 解：（1）当a=0时，y=f（x）?g（x）=xlnx的定义域为（0，+∞）， y'=lnx+x=lnx+1，又∵当x=时，y'=0，
则函数y=f（x）?g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增； （2）F（x）=
=
（x＞0且x≠1），
则令F'（x）=即
，
=0，
即（x+a）ln（x+a）﹣xlnx=0， 若方程有解，
可化为函数y=xlnx有相同的函数值时，自变量分别为x+a，x；
由（1）知，y=xlnx在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增； 故在（0，）上，y＜0，在（，1）上，y＜0，在（1，+∞）上，y＞0， 故|x+a﹣x|=|a|＜1，
则方程也解，即不存在x，使F'（x）=0成立； 即，当|a|≥1时，函数F（x）无极值点．
点评： 本题考查了导数的综合应用，导数的正负可判断函数的单调性，可导时，存在零点的必要条件是导数为0；从而判断零点的个数，属于难题．
江苏省南通市如皋中学高三数学上学期调研试卷(一)理(含解析)
