由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象，与x＞0时的图象关于原点对称．
∵?x∈R，f（x+2）≥f（x），
2
∴8a≤2， 解得a∈[﹣ 1 2 ， 1 2 ]．
点评： 本题考查了函数的奇偶性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、解答题
15．若△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c （1）若sin（A+
）=，求sin（2A﹣
）的值；
（2）cosA=，b=3c，求sinC的值．
考点： 余弦定理的应用；二倍角的余弦． 专题： 解三角形． 分析： （1）由sin（A+
）的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos（2A+
）的值，
再利用诱导公式即可求出所求式子的值；
（2）利用余弦定理列出关系式，把cosA，b=3c代入表示出a，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出sinC的值即可． 解答： 解：（1）∵sin（A+
）=，
∴cos（2A+则sin（2A﹣
）=1﹣2sin（A+）=sin（2A+
﹣
2
）=，
）=﹣cos（2A+
）=﹣；
（2）∵cosA=，b=3c，
∴由余弦定理得：a=b+c﹣2bccosA=9c+c﹣2c=8c， 222
∴a+c=b，即B为直角， 则sinC==．
点评： 此题考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
16．在△ABC中，已知P为线段AB上的一点，（1）若
=x
+y|=4，|
，求x，y的值； |=2，且
?
=﹣9，求
与
的夹角．
=3
．
2
2
2
2
2
2
2
（2）已知|
考点： 平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义． 专题： 平面向量及应用．
分析： （1）据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出及平面向量基本定理求出x，y的值．
（2）由条件利用向量数量积的定义求得cosθ的值，可得解答： 解：（1）∵再根据
=x
+y
=3
，由题意可得
=
+
=
+
与=
的夹角θ的值． +（
﹣
）=
+
，
，结合已知条件以
，∴x=，y=．
|=2，且
?
=﹣9=4×2×cosθ （θ为
与
的夹角），∴cos
（2）∵已知|θ=，
|=4，|
可得θ=60°，即求与的夹角为60°．
点评： 本题考查向量的加法、减法的运算法则，两个向量的数量积的定义及其运算律，根据三角函数的值求角，属于基础题．
17．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0． （1）若此不等式的解集为
（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．
，求实数a的值；
考点： 一元二次不等式的解法．
专题： 分类讨论；不等式的解法及应用． 分析： （1）根据不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集与对应方程之间的关系，求出a的值； （2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集来． 解答： 解：（1）∵不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集为∴方程（ax﹣1）（x+1）=0的两根是﹣1，﹣； ∴﹣a﹣1=0，
∴a=﹣2；
（2）∵（ax﹣1）（x+1）＞0，
∴a＜0时，不等式可化为（x﹣）（x+1）＜0； 若a＜﹣1，则＞﹣1，解得﹣1＜x＜； 若a=﹣1，则=﹣1，解得不等式为?； 若﹣1＜a＜0，则＜﹣1，解得＜x＜﹣1； a=0时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1； 当a＞0时，不等式为（x﹣）（x+1）＞0， ∵＞﹣1，∴解不等式得x＜﹣1或x＞； 综上，a＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}； a=﹣1时，不等式的解集为?；
﹣1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜﹣1}； a=0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}；
当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞}．
点评： 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论思想，是中档题．
18．设f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．
（2）设函数在区间[﹣4，4]上的最大值为g（a）的表达式．
考点： 函数奇偶性的性质．
，
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）设﹣3≤x＜0、x＜﹣3，利用已知函数的解析式，即可求得结论；
（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[﹣4，4]上的最大值即为它在区间[0，4]上的最大值，分类讨论，即可求得结论； 解答： 解：（1）令x＜0，则﹣x＞0， ∴f（﹣x）=∵f（﹣x）=f（x）， ∴f（x）=
， ，
（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[﹣4，4]上的最大值即为它在区间[0，4]上的最大值，
而函数f（x）恒过点（2，0），
当a≤2时，f（x）在[0，1]和[2，4]上单调递增，在[1，2]上单调递减，如图所示 故x∈[0，2]上的最大值为f（1）=1，在（2，4]上的最大值为f（4）=8﹣2a， 当f（4）≥f（1）时，即8﹣2a≥1时，解得a≤，函数的最大值为f（4）， 当a＞2时，f（x）在[0，1]和[
，4]上单调递增，在[1，
]上单调递减，如图所示
故x∈[0，2]上的最大值为f（1）=1，在（2，4]上的最大值为f（4）=8﹣2a， 当f（4）≥f（1）时，即8﹣2a≥1时，解得2＜a≤，函数的最大值为f（4）， 当f（4）＜f（1）时，即8﹣2a＜1时，解得a＞，函数的最大值为f（1），
综上所述g（a）=
点评： 本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
19．某公司为了公司周年庆典，现将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高为8+8m，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行装饰，有两种方法：
（1）如图1，设柱子CD与墙面AB相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，形成一个直线型的灯带（图1中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？
（2）如图2，设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，再将灯带拉直依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的灯带（图2中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？
考点： 解三角形的实际应用． 专题： 综合题；导数的综合应用．
分析： （1）过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中和△CME中，分别用θ表示出CF和CE，即可列出l与θ的关系式，利用导数求出函数的最值，即可求得答案； （2）求出灯带长L，求导数，即可求得答案． 解答： 解：（1））设∠EFD=θ，EF=l， 过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中，CF=∴l=∴l′=﹣
+
+
，在△CME中，CE=
．
，
，θ∈（0，α]，其中α是锐角且tanα=8
=0，可得tanθ=2
此时BE=10米时，钢丝绳最短；
江苏省南通市如皋中学高三数学上学期调研试卷(一)理(含解析)
