推理与新定义问题
（一）选择题（12*5=60分）
1．欧拉公式e?cosx?isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e表示的复数在复平面中位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B
2iix?1?12??0 2．若数列?an?满足，则称?an?为“梦想数列”，已知正项数列??为“梦想数列”，且an?1anb?n?b1?b2?b3?1，则b6?b7?b8?（ ）
A．4 B．16 C．32 D．64 【答案】C
【解析】依题意有an?1?111an为等比数列，故为公比为的等比数列，所以bn是公比为2的等比数列，22bn5由此b6?b7?b8??b1?b2?b3??q?32.
3．已知三角形的三边分别为a,b,c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为s?1?a?b?c?r；四面体的2四个面的面积分别为s1,s2,s3,s4，内切球的半径为R．类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）
11?s1?s2?s3?s4?R B. V??s1?s2?s3?s4?R
321C. V??s1?s2?s3?s4?R D. V??s1?s2?s3?s4?R
4A. V?【答案】D
【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．类比三角形的面积可得四面体的体积为：
V?1R(S1?S2?S3?S4)．故选D. 3
b?G，4．非空集合G关于运算?满足：（1）对任意a，都有a?b?G；（2）存在e?G，使得对一切a?G，
都有a?e?e?a?a，则称G关于运算?为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G?非负整数，
???为整数的加法；②G??偶数?，?为整数的乘法；③G??平面向量?，?为平面向量的加法；④
G??二次三项式?，?为多项式的加法；⑤G??虚数?，?为复数的乘法．其中G关于运算?为“融
洽集”的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①⑤ D．②③④ 【答案】B
5．将圆的一组n等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k?k?n?个点的颜色，称为该圆的一个“k阶段序”，当且仅当两个k阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k阶色序.若某圆的任意两个“k阶段序”均不相同，则称该圆为“k阶魅力圆”.“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（ ）
A．4 B．6 C. 8 D．10 【答案】C
【解析】 “3阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有2?2?2共8种，一方面，n个点可以构成n个“3阶色序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个；另一方面，若n?8，则必需包含全部共8个“3阶色序”，不妨从(红，红，红)开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件.故“3阶魅力圆”中最多可有8个等分点.
6．【四川省成都实验中学2018届1月月考】在实数集R中定义一种运算“* ”，对任意a,b?R,a*b为
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