新课标：袁轲教学资料（高中数学）
n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2???an). an???sn?sn?1,n?240.等差数列的通项公式
an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N)；
*其前n项和公式为
sn??d2n(a1?an)2n?(a1?2?na1?d)n.
n(n?1)2d
1241.等比数列的通项公式
an?1n*an?a1q?1?q(n?N)；
q其前n项的和公式为 ?a1(1?qn),q?1?sn??1?q
?na,q?1?1?a1?anq,q?1?或sn??1?q.
?na,q?1?142.等比差数列?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为 ?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d；
,q?1?q?1?其前n项和公式为
?nb?n(n?1)d,(q?1)?nsn??. d1?qd(b?)?n,(q?1)?1?qq?11?q?43.分期付款(按揭贷款)
每次还款x?ab(1?b)nn(1?b)?1元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).
44．常见三角不等式
?（1）若x?(0,)，则sinx?x?tanx.
2(2) 若x?(0,?2(3) |sinx|?|cosx|?1.
)，则1?sinx?cosx?2. 45.同角三角函数的基本关系式
sin?22sin??cos??1，tan?=，tan??cot??1.
cos?46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
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n?2n??(?1)sin?, sin(??)??n?12?2?(?1)cos?,(n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) n?2n??(?1)cos?, cos(??)??n?12?2sin?,?(?1)
47.和角与差角公式
sin?(???)s?inc?o?scos?(???)co?sc??ostan?(???)tan??1?ta?nta?n?cos; ?s?sin; ?s.
ta?n2222sin(???)sin(???)?sin??sin?(平方正弦公式); cos(???)cos(???)?cos??sin?. asin??bco?s=22??的象限决定,tana?bsin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)ba ).
48.二倍角公式
sin?2?s?incos?2?tan?2?c?o.
2co?s?2ta?n1?tan?22s?in?2c?o?s?2?1. 1?2sin2.
49. 三倍角公式
sin?3?cos?3?3s?i?n4co?s?34?s?in3?c?os3???4sin??sin(??). sin(33))???4cos??cos(??)cos(33.
tan?3?3ta?n?2ta?n31?3tan??ta?ntan?(?3?)ta?n?. (3?)50.三角函数的周期公式
函数y?sin?x∈R及函数y?cos?x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?(x??，)(x??，)函数y?tan(?x??)，x?k??51.正弦定理
asinA22??；
?2,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T???.
?bsinB2?csinC?2R.
52.余弦定理
a?b?c?2bccosA; b?c?a?2cacosB; c?a?b?2abcosC.
222222253.面积定理 （1）S?（2）S?
1212aha?12bhb?1212chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.
12casinB.
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absinC?bcsinA?新课标：袁轲教学资料（高中数学）
(3)S?OAB?12????????????????22(|OA|?|OB|)?(OA?OB). 54.三角形内角和定理
在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)
?C2??2?A?B2?2C?2??2(A?B).
55. 简单的三角方程的通解
sinx?a?x?k??(?1)karcsina(k?Z,|a|?1). cosx?a?x?2k??arccosa(k?Z,|a|?1).
tanx?a?x?k??arctana(k?Z,a?R).
特别地,有
sin??sin????k??(?1)?(k?Z).
k cos??cos????2k???(k?Z).
tan??tan????k???(k?Z).
56.最简单的三角不等式及其解集
sinx?a(|a|?1)?x?(2k??arcsina,2k????arcsina),k?Z.
sinx?a(|a|?1)?x?(2k????arcsina,2k??arcsina),k?Z. cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??arccosa),k?Z.
cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??2??arccosa),k?Z. tanx?a(a?R)?x?(k??arctana,k??tanx?a(a?R)?x?(k???2),k?Z.
?2,k??arctana),k?Z.
57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则a?b(b?0)?x1y2?x2y1?0. 53. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2).
???????????? (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).
(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).
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(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2). 63.两向量的夹角公式
x1x2?y1y2(a=(x1,y1),b=(x2,y2)). cos??2222x1?y1?x2?y264.平面两点间的距离公式 dA,B=|AB|??2????????????AB?AB 2(x2?x1)?(y2?y1)(A(x1,y1)，B(x2,y2)).
65.向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则 A||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0. 66.线段的定比分公式
????????设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1P2的分点,?是实数，且P1P??PP2，则
x1??x2?????????x??????OP1??OP2?1?? ?OP??1???y?y1??y2?1???????????????1）. ?OP?tOP1?(1?t)OP2（t?1??67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是
G(x1?x2?x33,y1?y2?y33).
68.点的平移公式
''???????????????x?x?h?x?x?h''?OP?OP?PP . ???''???y?y?k?y?y?k????'注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k).
''''69.“按向量平移”的几个结论
（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x?h,y?k).
(2) 函数y?f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为y?f(x?h)?k. (3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y?f(x),则C的函数解析式为y?f(x?h)?k.
(4)曲线C:f(x,y)?0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(x?h,y?k)?0. (5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y). 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则 （1）O为?ABC（2）O为?ABC（3）O为?ABC（4）O为?ABC????2????2????2的外心?OA?OB?OC.
?????????????的重心?OA?OB?OC?0.
????????????????????????的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA.
?????????????的内心?aOA?bOB?cOC?0.
????????????的?A的旁心?aOA?bOB?cOC.
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'''''''（5）O为?ABC71.常用不等式：
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（1）a,b?R?a2?b2?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． （2）a,b?R??a?b2?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0). （4）柯西不等式
(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.
22222（5）a?b?a?b?a?b. 72.极值定理
已知x,y都是正数，则有
（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2（2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值
142p；
s.
推广 已知x,y?R，则有(x?y)2?(x?y)2?2xy （1）若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大； 当|x?y|最小时,|x?y|最小.
（2）若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时, |xy|最小； 当|x?y|最小时, |xy|最大.
73.一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)，如果a与ax2?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2?bx?c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)； x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).
74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有
x?a?x?a222??a?x?a.
x?a?x?a?x?a或x??a.
275.无理不等式
?f(x)?0?（1）f(x)?g(x)??g(x)?0 .
?f(x)?g(x)??f(x)?0?f(x)?0?（2）f(x)?g(x)??g(x)?0. 或??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2??f(x)?0?（3）f(x)?g(x)??g(x)?0.
?f(x)?[g(x)]2?76.指数不等式与对数不等式 (1)当a?1时,
af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);
loga?f(x)?0?f(x)?logag(x)??g(x)?0.
?f(x)?g(x)?10
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