新课标：袁轲教学资料（高中数学）
又a1?3，∴an?3n
（3）等差型递推公式
由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法
n?2时，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)? ?两边相加，得：
?????an?an?1?f(n)?? an?a1?f(2)?f(3)????f(n) ∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n) ［练习］
数列?an?，a1?1，an?3n?1?an?1?n?2?，求an （an??321n?1）
? （4）等比型递推公式
an?can?1?d?c、d为常数，c?0，c?1，d?0? 可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x? ?an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x???ddc?1
∴?an?d?是首项为a?，c为公比的等比数列 ?1c?1?c?1d ∴an?d??n?1??a1??·c c?1?c?1???d?n?1d ??cc?1?c?1 ∴an??a1?［练习］
数列?an?满足a1?9，3an?1?an?4，求an （an?4??8????3?n?1?1）
（5）倒数法
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例如：a1?1，an?1?2anan?2，求an
由已知得：1an?1?12?an?22an?12?1an
∴1an?1?1an
?1?11?1，公差为 ???为等差数列，a12?an? ?1an?1??n?1?·2n?112?12?n?1?
∴an?
47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
n 如：?an?是公差为d的等差数列，求?k?11akak?1
解：由n1ak·ak?11n?1ak?ak?d??1?11?????d?0? d?akak?1? ∴?k?1akak?1??k?11?11???? d?akak?1??
??11??11??11?1??????????????????d??a1a2??a2a3?an?1???an1?11????d?a1an?1?
［练习］ 求和：1?11?2?11?2?3????1n?111?2?3????n）
（an??????，Sn?2? （2）错位相减法：
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项
和，可由Sn?qSn求Sn，其中q为?bn?的公比。
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如：Sn?1?2x?3x2?4x3????nxn?1?1?
?2?
x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?????n?1?xn?1?nxn ?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x2????xn?1?nxn
x?1时，Sn??1?x?n?1?x?2?nxn1?x
x?1时，Sn?1?2?3????n?n?n?1?2
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
Sn?a1?a2????an?1?an???相加
Sn?an?an?1????a2?a1?? 2Sn??a1?an???a2?an?1??????a1?an??? ［练习］ 已知f(x)??1??1??1?，则f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f???????2?????4?231?x?1????x?2x2
x?1? （由f(x)?f????2?x?1?x2?1?1????x??2?x221?x?11?x2?1
∴原式?f(1)??f(2)?f?????f(3)?f?????f(4)?f???
?2????3????4??? ?12?1?1?1?312）
??1???1????1?? 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为： Snn?n?1????p?1?r??p?1?2r?????p?1?nr??p?n?r???等差问题
2?? △若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足 p(1?r)?x?1?r?nn?1n?2?x?1?r?????x?1?r??x
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?1??1?r?n ?x?1??1?r???n??1?r??1 ??xr?? ∴x?pr?1?r?n?1?r?n
?1 p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 （1）分类计数原理：N?m1?m2????mn （mi为各类办法中的方法数） 分步计数原理：N?m1·m2??mn （mi为各步骤中的方法数）
（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为An.
m An?n?n?1??n?2????n?m?1??mn!?n?m?!?m?n?
规定：0!?1
（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cn.
mnm C?AnAmmm?n?n?1????n?m?1?m!?n!m!?n?m?!
规定：Cn?1 （4）组合数性质： Cn?Cnmn?m0，Cn?Cnmm?1?Cn?1，Cn?Cn????Cn?2
m01nn 50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
xi?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且满足x1?x2?x3?x4，
?? 则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24 B. 15 解析：可分成两类：
C. 12 D. 10
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（1）中间两个分数不相等，
4 有C5?5（种）
（2）中间两个分数相等 x1?x2?x3?x4
相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理
n1n?12n?22rn?rrnn (a?b)n?C0a?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb n 二项展开式的通项公式：Tr?1?Crnan?rbr(r?0，1??n) Crn为二项式系数（区别于该项的系数） 性质：
?r （1）对称性：Crn?Cn?r?0，1，2，??，n? n1nn （2）系数和：C0?Cn???Cn?2 n35024n?1 C1 ?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n （3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
?n?2；n为奇数时，(n?1)为偶数，中间两项的二项式 ??1?项，二项式系数为Cn?2?n系数最大即第n?12项及第11n?12n?1n?1?1项，其二项式系数为Cn2?Cn2
如：在二项式?x?1?的展开式中，系数最小的项系数为表示）
（∵n＝11
∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第 由C11x6r11?rr（用数字
122?6或第7项
(?1)，∴取r?5即第6项系数为负值为最小：
5 ?C11??C11??426 又如：?1?2x?
2004?a0?a1x?a2x????a2004x50
22004?x?R?，则
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