中南大学-研究生入学考试数学分析试题
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中南大学2002-2011年研究生考试数学分析试题
2002年
一、求下列极限
xn?x?n,(x?0)； （1）limnn???x?x?nx?1x)；
x???x?11A（3）lim?sinxdx。
A??A0（2）lim(二、（共16分，每小题8分）设函数
f(x)?sin?x，x?(0,1)
（1）证明f(x)连续；
（2）f(x)是否一致连续？（请说明理由）。 三、（共16分，每小题8分） （1）设u?eax?by，求n阶全微分dnu；
（2）设x?eucos?，y?eusin?，变换以下方程
?2z?2z?2?0。 2?x?y四、（共20分，每小题10分） （1）求积分?ln011dx； 1?x（2）求曲面az?x2?y2 (a?0)，和z?x2?y2所围成的体积。 五、（共12分，每小题6分）设
npcos1?nn?2，(q?0) qI??n?1?（1）求I的条件收敛域；
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（2）求I的绝对收敛域。 六、证明：积分
F(a)??e?(x?a)dx
0??2是参数a的连续函数。
七、（8分）设定义于(??,??)上的函数f(x)存在三阶的导函数f(3)(x)，且
f(?1)?0，f(1)?1，f(1)(0)?0
证明：supf(3)(x)?3。
x?(?1,1)
2003年
一、（共27分，每小题9分）求下列极限 （1）lim(n?n?n)；
n???（2）lim[3??(cost)dt]；
x?00x2x21x（3）设f(x)在[0,1]上可积，且?101n2k?1f(x)dx?1，求lim?f()。
n???n2nk?1二、（共24分，每小题12分）设函数f(x)在[a,??)上连续， （1）证明：若limf(x)存在，则f(x)在[a,??)上一致连续；
x???（2）上述逆命题是否成立？（请给出证明或举出反例）。
1?22(x?y)sin,?22x?y三、（共27分，每小题9分）设f(x,y)????0,x2?y2?0,x2?y2?0.
（1）求偏导数fx'和fy'；
（2）讨论函数fx'和fy'在原点(0,0)的连续性；
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