2019年研究生统一入学考试数学（一）
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1.当 A B C D
时，若 与 是同阶无穷小，则 等于（ C ）
，则
2.设函数
A 可导点，极值点 B 不可导点，极值点 C 可导点，非极值点 D 不可导点，非极值点
是
的（ B ）
3.设
是单调增加的有解数列，则下列级数中收敛的是（ D ）
A B
C
D 4. 设函数
可取为（ D ）
。如果对上半平面（
都有 ）内的任意有向光滑封闭曲线
，那么函数
A B C D
5. 设是阶实对称矩阵， 是阶单位矩阵。若 A B
C D
，且 ，则二次型
规范形为（C ）
6.如图所示，有 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 和增广矩阵分别记为 ，则（ A ） A B
D
充分必要条件是（ C ）
组成的线性方程组的系数矩阵
C
7.设 A B C
为随机事件，则
D
，则
（ A ）
8.设随机变量 和 相互独立，且都服从正态分布A 与 无关，而与 有关 B 与有关，而与 无关 C 与，D 与，
都有关 都无关
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
9. 设函数
10.微分方程
可导，
满足条件
，则
。
11. 幂级数
在
的特解
。
。
12. 设 为曲面
内的和函数
的上侧，则
为阶矩阵，若 。
。
13. 设 ， 线性无关，且 ，则线性方程组 的通解为
14.设随机变量 的概率密度为
。
，
为 的分布函数， 为 的数学期望，则
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 设函数 （1）求
是微分方程
；
满足条件
的特解。（本题满分10分）
解： 因
的解可以通过分开变量法求解， ，
所以 有
，
，
于是方程两边同时乘以 有
时的特解，
所以
解得 最后 有
（2）求曲线
解： 由（1）得
， ， 。
凹凸区间及拐点。
令 解得 当时 当 当 当 所以
， 或
。 时，
；
时，
时，
； ；
时，
。
的拐点是
当
曲线是凹的； 当
曲线是凸的。
16. 设 ， 为实数，函数 （本题满分10分） （1）求 ，；
解：由题意得
在点（ , ）处的方向导数中，沿方向
的方向导数最大，最大值为 。
时， 时，
， 所
以
另一方面因为方向导数最大值为10， 所以
解得
，
（2）求曲面
解： 当
。
（
）的面积。
时， ， 时，面积 为
，
因 故，在
17. 求曲面
（
）与 轴之间图形的面积。（本题满分10分）
解： 面积
=
2019年考研数学一真题及答案解析
