第五章 线性系统的频域分析与校正
习题与解答
5-1 试求题5-75图(a)、(b)网络的频率特性。
CR1R1urR2CucurR2uc
(a) (b)
图5-75 R-C网络
解 （a)依图：
1sCR2?1R1?sCU(j?)R2?j?R1R2CK(1?j?1?)??1 Ga(j?)?c
Ur(j?)R1?R2?j?R1R2C1?jT1?R1Uc(s)?Ur(s)R2?K1(?1s?1)T1s?1R2?K??1R?R12?? ??1?R1C?RRC?T1?12?R1?R2?U(s)? (b)依图：cUr(s)?1T2s?1R1?R2?sCU(j?)1?j?R2C1?j?2??? Gb(j?)?c
Ur(j?)1?j?(R1?R2)C1?jT2?
R2?1sC?2s?1??2?R2C ?T?(R?R)C12?2 5-2 某系统结构图如题5-76图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出cs(t)和稳态误差es(t) （1） r(t)?sin2t
（2） r(t)?sin(t?30?)?2cos(2t?45?) 解 系统闭环传递函数为: ?(s)?1 图5-76 系统结构图 s?2 77 / 3777
频率特性: ?(j?)?幅频特性: ?(j?)?12?? ??j22j??24??4??124????相频特性: ?(?)?arctan()
21s?1?, 系统误差传递函数: ?e(s)?1?G(s)s?2则 ?e(j?)?
1??24??21,??e(j?)?arctan??arctan()
2（1）当r(t)?sin2t时, ??2，rm=1
?2?0.35, ?(j2)?arctan()??45?
285?e(j?)??2??0.79,8 2?e(j2)?arctan?18.4?6 css?rm?(j2)sin(2t???)?0.35sin(2t?45?)
则 ?(j?)??2? ess?rm?e(j2)sin(2t??e)?0.79sin(2t?18.4) （2） 当 r(t)?sin(t?30?)?2cos(2t?45?)时: ? ?(j1)????1?1,??2?2,rm1?1rm2?2
5?1?0.45?(j1)?arctan()??26.5? 52101?0.63?e(j1)?arctan()?18.4? ?e(j1)?53?? cs(t)?rm?(j1)?sin[t?30??(j1)]?rm?(j2)?cos[2t?45??(j2)]
?0.4sin(t?3.4)?0.7cos(2t?90)
es(t)?rm?e(j1)?sin[t?30??e(j1)]?rm?e(j2)?cos[2t?45??e(j2)] ?0.63sin(t?48.4)?1.58cos(2t?26.6)
5-3 若系统单位阶跃响应 h(t)?1?1.8e试求系统频率特性。
?4t???????0.8e?9t(t?0)
78 / 3778
11.80.836???,ss?4s?9s(s?4)(s?9)C(s)36??(s)?则 R(s)(s?4)(s?9)36频率特性为 ?(j?)?
(j??4)(j??9) 解 C(s)?
5-4 绘制下列传递函数的幅相曲线： (1)R(s)?1 sG(s)?K/s G(s)?K/s2 (2)G(s)?K/s3 (3))KK?j(??2(1)G(j)??e解
j??G(j0)?? ??0,G(j?)?0 ???, ?(?)???2
幅频特性如图解5-4(a)。 (2)(j?)?G(j0)?? ??0,G(j?)?0 ???, ?(?)???
幅频特性如图解5-4(b)。
G(j?)?K2?K2e?j(?)
KK?j(32?)G(j?)??e (3) 图解5-4
(j?)3?3G(j0)?? ??0,G(j?)?0 ???,?3? ?(?)?
2幅频特性如图解5-4(c)。
5-5 已知系统开环传递函数
10
s(2s?1)(s2?0.5s?1)试分别计算 ??0.5 和??2 时开环频率特性的幅值A(?)和相角?(?)。
10解 G(j?)H(j?)? 2j?(1?j2?)((1???j0.5?) G(s)H(s)? 79 / 3779
(1??)?(0.5?)0.5? ?(?)??90??arctan2??arctan 21???A(0.5)?17.8885?A(2)?0.3835计算可得 ? ?
?(0.5)??153.435??(2)??327.53???
5-6 试绘制下列传递函数的幅相曲线。
A(?)?10?1?(2?)2222
5
(2s?1)(8s?1)10(1?s) (2) G(s)?
s25G(j?)?解 (1) 222(1?16?)?(10?) (1) G(s)? ?G(j?)??tg2??tg8???tg取ω为不同值进行计算并描点画图，可以作出准确图形 三个特殊点： ① ω=0时， G(j?)?5, ② ω=0.25时, G(j?)?2, ③ ω=∞时, G(j?)?0,幅相特性曲线如图解5-6（1）所示。
4320.410-1-2-0.6-3-4-1-0.8012Real Axis345-1-9-8-7-6-5-4-3-2-100.20-0.2-0.410.80.6x 108?1?1?110?2
1?16??G(j?)?00 ?G(j?)??90?
?G(j?)??1800
Real Axisx 10 图解5-6（1）Nyquist图 图解5-6（2） Nyquist图
14
?2?10 ?G(j?)?tg??180
两个特殊点： ① ω=0时， G(j?)??(2) G(j?)?101??2
,?G(j?)??1800
80 / 3780
② ω=∞时, G(j?)?0幅相特性曲线如图解5-6（2）所示。
5-7 已知系统开环传递函数 G(s)?,?G(j?)??900
K(?T2s?1)； K,T1,T2?0
s(T1s?1)当??1时，?G(j?)??180?，G(j?)?0.5；当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差1。试写出系统开环频率特性表达式G(j?)。
解 G(s)?先绘制G0(s)??K(T2s?1)
s(T1s?1)K(T2s?1)的幅相曲线，然后顺时针转180°即可得到G(j?)幅相曲线
s(T1s?1)。G0(s)的零极点分布图及幅相曲线分别如图解5-7(a)、(b)所示。G(s)的幅相曲线如图解5-7(c)所示。
依题意有： Kv?limsG(s)?K， essv?1K?1，因此K?1。
s?0?G(j1)??arctanT2?90??arctanT1??180?
T?TarctanT1?arctanT2?arctan12?90?
1?T1T2T1T2?1
1?T1T2?j(T1?T2)(T1?T2)另有： G(j1)?(1?jT2)(1?jT1)???0.5 2221?T11?T21?T2T22?2T2?1?2T1?T22?2T2?1?2T2?0
T23?2T22?T2?2?(T22?1)(T2?2)?0
可得： T2?2，T1?1T2?0.5，K?1。
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《自动控制原理》(卢京潮主编)课后习题答案
