高中竞赛必备资料
第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
一、选择题
1、直线A x + B y + C = 0（A，B不全为零）的倾斜角是（ ）
?A，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –)
B2?B（B）A = 0时，倾斜角是，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –)
A2（A）B = 0时，倾斜角是
（C）A = 0时，倾斜角是0，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –（D）B = 0时，倾斜角是0，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –
B) AA) B2、数列{ a n }：a 1 = p，a n + 1 = q a n + r（p，q，r是常数），则r = 0是数列{ a n }成等比数列的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）不充分也不必要条件 3、f 是R ? R上的一一映射，函数y = f ( x )严格递增，方程x = f ( x )的解集为P，方程x = f [ f ( x )]的解集为Q，则（ ）
（A）P ? Q （B）P = Q （C）P ? Q （D）以上都不对
4、点( x，y )的坐标x，y都是有理数时，该点称为有理点，在半径为r，圆心为( a，b )的圆中，若a∈Q，b∈Q，则这个圆上的有理点的数目（ ）
（A）最多有一个 （B）最多有两个 （C）最多有三个 （D）可以有无穷多个
5、以某些整数为元素的集合P具有以下性质：（1）P中元素有正数也有负数；（2）P中元素有奇数也有偶数；（3）– 1? P；（4）若x，y∈P，则x + y∈P。对于集合P，可以断定（ ） （A）0∈P，2 ? P （B）0 ? P，2∈P （C）0∈P，2∈P （D）0 ? P，2 ? P 二、填空题
6、方程arcsin ( sin x ) =?6×xx的实根个数是 。 |x|7、使不等式| ( x – 1 ) ( x + 1 ) | + | ( x – 2 ) ( x + 2 ) | + | ( x – 3 ) ( x + 3 ) | < ( t – x ) ( t + x )的解集为空集的实数t形成一个集合，把这个集合用区间形式写出来，就是 。
8、椭圆的两个焦点是F1 ( 3 , – 6 )，F2 ( 6 , 3 )，一条切线为4 x = 3 y，这个椭圆的离心率是 。 9、设[ x ]表示不超过x的最大整数，则[1] + [2] + [3] + … + [1989?1990] +[ –1] + [ –2] + [ –3] + … + [ –1989?1990]的值是 。
答案：一、 A、B、A、B、A；二、6、1；7、[ – 23，23]；8、5；9、– 1989 2。 3简解：5、若x，y∈P，则x + y∈P ? 若x + y ? P，则x ? P或y ? P。显然1 ? P，若2 ∈P，则4，6，8，…，2 n ∈P，且– 1，– 3，– 5，…，– 2 m + 1 ? P，则存在– 2 n ∈P，且2 m + 1 ∈P，则– 2 ∈P，2 m – 1 = 2 m + 1 – 2∈P，…，1 ∈P，矛盾，故2 ? P。
t2?14t2?142
7、若x ≤ – 3或x ≥ 3，则4 x < t + 14，即x <，又x ≥ 9，只需≤ 9，t 2 ≤ 22即
44t2?4t2?42222
可；若– 3 < x ≤ – 2或2 ≤ x < 3，则2 x < t – 4，即x <，又4 ≤ x < 9，只需≤ 4，
222
2
2
t 2 ≤ 12即可；若– 2 < x ≤ – 1或1 ≤ x < 2，则t 2 > 12，只需t 2 ≤ 12即可；若– 1 < x < 1，则2 x 2 >
t2t22
14 – t ，即x > 7 –，又x < 1，只需7 –≥ 1，t 2 ≤ 12即可；∴ – 23≤ t ≤ 23。
222
2
8、进行坐标变换：??x?m?4.5?m?pcos??qsin?310，?，tan θ = 3，则F1 ( 3 , – 6 ) ?( –，
y?n?1.5n?psin??qcos?2??0 )，F2 ( 6 , 3 ) ?(三、解答题
192310910310，0 )，4 x = 3 y ?p – 3 q –= 0，c =| F1 F2 | =，a =。
2222210、数列{ arccot 2 n 2 }的前n项的和为S n，证明，对一切n∈N，都有S n <解：∵ arccot 2 n 2 = arccot ( 2 n – 1 ) – arccot ( 2 n + 1 )
?。 4∴ S n = arccot 2 + arccot 8 + … + arccot 2 n 2 = ( arccot 1 – arccot 3 ) + ( arccot 3 – arccot 5 ) +
… + [ arccot ( 2 n – 1 ) – arccot ( 2 n + 1 ) ] = arccot 1 – arccot ( 2 n + 1 ) < arccot 1 =
?。 411、用4块腰长为a，上、下底边长是a，2 a的等腰梯形硬纸片和两块平面多边形硬纸片可以围成一个六面体，求六面体的体积。
解：如图，围成的六面体为正四棱台，上、下底面积分别为S 1 =
DAECA1FB12a ，S 2 = 4 a ，高EF = CG =a，体积V =h ( S 1 + S 2
3212723
+S1S2) =×a × ( a 2 + 4 a 2 + 2 a 2 ) =a 。
3262
2
B1GC112、正方形PQRS的顶点Q，R，S分别在边长为2的正△ABC的边AB，BC，CA上滑动，求P点的轨迹方程。
D1第11题图第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1991年4月14日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、映射f ：（a，b，c，d）?（1，2，3），如果10 < f ( a ) f ( b ) f ( c ) f ( d ) < 20，这样的映射共有（ ）
（A）23个 （B）24个 （C）25个 （D）26个
y2x22、曲线–= 1与曲线9 x 2 + 25 y 2 = 225的焦距相等的充要条件是（ ）
16?kk（A）k < 16且k ≠ 0 （B）k > 0且k ≠ 16 （C）0 < k < 16 （D）k < 0或k > 16 3、定义在全体实数上的函数f ( x )，满足：（1）f ( x 3 ) = f 3 ( x )；（2）对任意x 1 ≠ x 2，都有f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 )。则f ( – 1 ) + f ( 0 ) + f ( 1 )的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）– 1 （D）不能确定
4、正方体表面正方形的对角线所在直线中有两条直线的距离是1，则此正方体的体积是（ ） （A）1 （B）33 （C）1或33 （D）33或32 5、M = { ( x，y ) | x 3 + 8 y 3 + 6 x y ≥ 1，x，y∈R }，P = { ( x，y ) | x 2 + y 2 ≤ t 2，t∈R，t ≠ 0 }，若P∩M =?，则有（ ） （A）– 1 < t < 1 （B）–113355< t < （C）–< t < （D）–< t <
2244556、函数f ( x ) = arcsin ( cos x ) + arccos ( sin x )的值域是（ ） （A）[ –
?3?3??，] （B）[ 0，] （C）[ –，π ] （D）[ 0，π ]
22227、把函数y = f – 1 ( x )的图象在坐标轴内以原点为旋转中心按逆时针方向旋转90?，得到（ ） （A）y = – f ( x ) （B）y = f ( – x ) （C）y = – f – 1 ( x ) （D）y = – f ( – x ) 8、过A ( p，0 )作抛物线y 2 + p 2 = 2 p x ( p > 0 )的与对称轴垂直的弦P1P2，O为原点，则∠P1OP2是（ ）
（A）直角 （B）钝角 （C）锐角 （D）不确定 9、设f ( x ) = arccos x + 2 arcsin x，则f – 1 ( x )是（ ） （A）sin x，x∈[ –
????，] （B）– sin x，x∈[ –，] 2222（C）cos x，x∈[ 0，π ] （D）– cos x，x∈[ 0，π ]
10、设x，y∈R，| x | < 1，| y | < 1，x y ≠ 0，记[ x ]表示不超过实数x的最大整数， 则不等式[ x + y ] ≤ [ x ] + [ y ]的解集区域图是（ ）
y1y1y11x?1y1O?1?11x?1OO?1O?11x?1?11x（A）二、填空题
（B）（C）（D）
11、集合M = { ( x，y ) | | x – 6 | + | y + 12 | = | x – 12 | + 2 | y + 3 | = 15，x，y∈R }中的元素的个数是 。
12、已知台体上、下底的面积分别为S1，S2，若与底面平行的平面把台体截成体积相等的两部分，则截面面积为 。 13、方程x 3 –
3236x 2 + 3 = 0的全部负根之和是 。
8118– 2 x y +x2x2?y2的最小值是 。
14、以实数x，y为自变量的函数u ( x，y ) = x 2 +
15、过圆x 2 + y 2 + 2 x – 6 y + 1 = 0与圆x 2 + y 2 – 6 x – 6 y + 17 = 0的交点的直线方程可表示为 。
16、{ x }表示不小于实数x的最小整数，则{ log 2 1 } + { log 2 2 }+ … + { log 2 1991 } = 。 17、函数y =
arcsinx的值域是 。
arccosx18、f ( x )对任意x 1，x 2∈R都有f ( x 1 – x 2 ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 )，则它的奇偶性是 。 19、定义在正整数上且函数值总是自然数的严格增函数f ( n )，对任意m，n∈N*，当m，n的最大公约数是1时，f ( m n ) = f ( m ) × f ( n )。若f ( 180 ) = 180，则f ( 1991 ) = 。 20、正十二面体有20个顶点，30条棱，每一个顶点是3条棱的交点，这三条棱的另一个端点是正十二面体的另外3个顶点，我们称这3个顶点与前一个顶点是相邻的。在每个顶点处放上一个实数，要求每个顶点所放的实数恰是该顶点相邻的3个顶点处所放实数的算术平均值。设M，m分别是这20个实数中最大的和最小的，则M – m的取值范围是 。 答案：一、C、A、A、C、 、D、B、A、D、C；
3S13?S2326二、11、4；12、(；14、6；15、a ( x – 2 ) + b ( y – 3 ) = 0，（a，b∈R）；)；13、–
22316、9954；17、[ –
1，+ ∞ )；18、偶；19、1991；20、 。 2简解：1、（2，2，2，2）1个，（1，2，2，3）12个，（1，2，3，3）12个；6、f ( x ) =
??2x?2?x?[??,?]?2????x?[?,0]?2?，； ??x?[0,]??2x?2???x?[,?]?02?3??x?[?,]?2?2x?2?7、y = f – 1 ( x )????? y = f ( x ) 9、arccos x + arcsin x =
yP1xOP2第4题图A第8题图y?x?????
y轴y = f ( – x )；
?，f ( x ) = π – arccos x，x = – cos y； 210、x + y < – 1，???1?x?0?0?x?1??1?x?0?0?x?1，x + y < 0，?或?，x + y < 1，?；
0?y?1?1?y?0?1?y?00?y?1????11、（– 1，– 4），（3，0），（7，2），（17，– 8）；
112、V台体 =h ( S +SS1+ S 1 )，
3S?S1h1S2?S2S?S==， h2S?SS1?S1S2?SS23–S3=S3–S13；
14、u ( x，y ) + 2 = ( x – y ) 2 + (
yA39+2?y2) 2，可以x9看作是平面上点A( x，)、B( y，2?y2)间距离
x9的平方，即如图两曲线y =、x 2 + y 2 = 2间的最短
x距离，易知当x = 3，y = 1时，AB最短，故u ( x，y ) ≥ 8 – 2 = 6；
16、0 + 1 + 2 × 2 + 3 × 2 2 + 4 × 2 3 +… + 10 × 2 9 + 11 × 67； 17、x∈[ – 1，1 )，arcsin x单调递增，arccos x单调递减； 三、解答题：
21、直角△ABC中AB = AC。用C点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且椭圆过A，B点。求这个椭圆的离心率。
BO13xADBOyCx第21题图解：设AC = x，则2 a = AD + AC = BD + BC = 1 +
622x，AD =x，2 c = CD =x，e
222=
c6==6–3。 a2?222、已知正四面体ABCD，考察下列集合。X：与四面体四个顶点的距离都相等的平面；Y：X中任意两平面的交线；Z：Y中任意两直线的交点；求：Z中包含的元素数目，并指出Z中各元素在空间的位置（也可画出Z中各元素的空间位置并加以说明）。
解：X：图中四个三角形所在的四个平面；
Y：A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，A1C1，B1D1；Z中含有四个元素：A1、B1、C1、D1。
AC1B1DBD1CA1第22题图第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1992年4月12日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、从动点P ( x，3 ) 向圆 ( x + 2 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 1引切线，则切线长度的最小值是（ ） （A）4 （B）5 （C）26 （D）6
6
322、当x∈R时，函数y = x – x+
1的值是（ ） 2（A）正实数 （B）负实数 （C）正实数或零 （D）任意实数 3、已知n∈N，有以下四个式子：6 n + 3 n；n 3 + ( n + 1 ) 3 + ( n + 2 ) 3；11 n – 2 n；2 4 n + 2 +5 2 n + 1其中能被9整除的式子有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 4、设集合A = { x |
xxx?1≥ x – 1 }，B = { x | arcsin+ 2 arccos< π }，那么（ ）
22（A）A = B （B）A ? B （C）B ? A （D）A∩B =Φ
125、等比数列{ a n }的首项a 1 = log a x，公比q = arctan+ arctan，那么这个数列是（ ）
53（A）递增数列 （B）递减数列 （C）递增数列或者递减数列 （D）以上都不对 6、A = { x | x =
1232n+++ … +，n∈N }，B = { x | 4 x 2 – 24 x + 35 < 0 }，则A∩B是（ ） 2222nnnn（A）( 2，3 ] （B）{ 2，3 } （C）{ 3 } （D）空集
x7、方程2 cos= 10 x + 10 – x + 1的实根的个数是（ ）
3（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
x2y2378、椭圆曲线上两个点的连接线段称为椭圆的弦，经过椭圆+= 1内的点A（，0）有
4941k条长度成等差数列的弦，公差d∈[，1 ]，则k值的集合是（ ）
2（A）{ 3，4，5，6，7 } （B）{ 3，4，5，6 } （C）{ 4，5，6，7 } （D）{ 5，6，7 } 9、若x∈R，则数列{ cos [ x +
2( n – 1 ) π ] }的前7项和（ ） 7（A）比1大 （B）比1小 （C）等于1 （D）是零 10、动圆M过定点A且和定圆O相切，那么动圆M的中心的轨迹是（ ）
（A）圆 （B）圆或椭圆 （C）圆或椭圆或双曲线 （D）圆或椭圆或双曲线或直线 二、填空题
11、长方体的棱长的和是l，则该长方体的体积的最大值是 。
x2y2x2y212、椭圆+= 1和+= 1有相同的离心率，则m的值是 。
3m2613、若a =129，则不等式() log a | x – 1 | <的解是 。
342114、从点A ( – 1，)向圆4 x 2 + 4 y 2 – 8 x + 4 y – 11 = 0作切线，则过切点的弦的方程是 。
215、方程3 x + 4 x + 5 x = 6 x的解是 。 16、数列{
1}的前n项的和是 。
n(n?1)(n?2)17、函数y = cos x + sin x cos x的值域是 。
?x?3?(1?m2)cos??18、m是任意实数，θ是给定的实数，由关于x和y的方程组?确定的动点
2??y?1?(1?2m)sin?( x，y )在平面直角坐标系内对应的图形是 。
519、[ x ]表示不超过实数x的最大整数，则方程[ 3 x – 4] – 2 x – 1 = 0的解是 。
620、平面上有A，B两个定点，在平面上随意放置k个点C i（i = 1，2，…，k），能从中找到两个点C k，C p，使不等式| sin∠ACkB – sin∠ACpB | ≤答案：一、C、A、D、B、C、C、A、C、D、D；
1成立，那么k的最小值是 。 1991l311二、11、；12、4或1；13、– 1 < x < 3；14、4 x – 2 y + 3 = 0；15、x = 3；16、–；
42(n?1)(n?2)21617、[ –133333，]；18、直线；19、x = 6或x =；20、 。
24441–1简解：2、通过求导，当x =时，y取最小值– 3 × 4 3> 0；
9216x4、A = { x | 1 ≤ x ≤ 2 }，B = { x | 0 < x ≤ 2 }；7、3 cos≤ 3，10 x + 10 – x + 1 ≥ 3；8、3 ≤ L ≤ 6；
39、S 7 = cos x + cos ( x +( x +
2?12?4?10?6?) + cos ( x +) + cos ( x +) + cos ( x +) + cos ( x +) + cos 777778?5?3??) = cos x + 2 cos ( x + π ) cos+ 2 cos ( x + π ) cos+ 2 cos ( x + π ) cos= cos x [ 1 – 2 7777( cos
?3?5??2?4?+ cos+ cos) ] = cos x [ 1 – 2 ( 4 coscoscos+ 1 ) ] = cos x [ 1 – 2 ( 4
777777sin8?7+
2sin?71291 ) ] = cos x [ 1 – 2 ×] = 0；13、() log a | x – 1 | – 2 ? | x – 1 | < 2；
234113?3t?3(1?t)42717、设t = sin x，则y 2 = ( 1 – t 2 ) ( 1 + t ) 2 =( 3 – 3 t ) ( 1 + t ) 3 ≤[] =；
4331618、2 tan θ x + y – 6 tan θ – 3 cos θ – 1 = 0或x = 3；
5354119、2 x + 1 ≤ 3 x – 4< 2 x + 2 ?≤ 2 x (∈ Z ) <，2 x = 12或2 x = 13；
633三、解答题
21、已知k∈R，关于x，y的方程y 4 + 4 y 3 + ( 2 x + 2 k x – k x 2 ) y 2 + 8 x y + ( 4 k x 2 – 2 k x 3 ) = 0表示一组曲线，其中有一条是固定的抛物线，试讨论k值与曲线形状的关系。
解：原方程可化为( y 2 + 2 x) ( – k x 2 + 2 k x + y 2 + 4 y ) = 0，则固定抛物线为y 2 = – 2 x， 由 – k x 2 + 2 k x + y 2 + 4 y = 0，得 – k ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4 – k，
k(x?1)2(y?2)2当k > 4时，方程可化为–= 1，为焦点在x轴上的双曲线；
k?4k?4当k = 4时，方程可化为4 x – y – 6 = 0或4 x + y – 2 = 0，为两条相交直线；
(y?2)2k(x?1)2当0 < k < 4时，方程可化为–= 1，为焦点在y轴上的双曲线；
4?k4?k当k = 0时，方程可化为y = 0或y = – 4，为两条平行于y轴的直线；
k(x?1)2(y?2)2当 – 1 < k < 0时，方程可化为+= 1，为焦点在x轴上的椭圆；
k?44?k当k = – 1时，方程可化为 ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 5，为两条相交直线；
k(x?1)2(y?2)2当k < – 1时，方程可化为+= 1，为焦点在y轴上的椭圆。
k?44?kxx?22、设0 < x <，求证：（1）sin x > x –；（2）sin x ≥ x –。
246解：
33第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1993年4月18日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、已知正方体、等边圆柱、球的表面积都是S，体积依次是V 1，V 2，V 3，则（ ） （A）V 1 < V 2 < V 3 （B）V 3 < V 2 < V 1 （C）V 3 < V 1 < V 2 （D）V 2 < V 1 < V 3 2、设命题甲：“a 1 + a 2 + … + a n > A”，命题乙：“a 1，a 2，…，a n中至少有一个大于命题甲是命题乙的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 3、函数y = 2
|1?x2|1?|x|A”，则n的图象大致是（ ）
y1?1O1y1y2y2x?1O1x?1O1x?1O1x
（A）（B）（C）（D）4、函数y = A sin ( ω x + φ ) ( A > 0，ω > 0，x∈R )为偶函数的充要条件是（ ） （A）φ = 2 k π （B）φ = k π （C）φ =5、设 a = tan ( arccot
k?? （D）φ = k π + （k∈Z） 2293427?)，b = arcsin+ arcsin，c = arccos ( – cos)，则（ ） 10555（A）a < b < c （B）b < a < c （C）a < c < b （D）c < b < a
6、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它的和大于100，则不同的取法有（ ） （A）50种 （B）100种 （C）1275种 （D）2500种 7、过抛物线y 2 = x的焦点F的直线l的倾斜角θ ≥上方，则 | FA | 的取值范围是（ ）
?，l交抛物线于A，B两点，且A点在x轴421111（A）(，1 +] （B）(，1 ] （C）[，+ ∞ ) （D）[，+ ∞ )
444228、已知△ABC中，cot A + cot B + cot C =3，则△ABC是（ ）
（A）直角不等腰三角形 （B）等腰直角三角形 （C）等腰不等边三角形 （D）等边三角形 9、函数y = cos x – cos 3 x的最大值是（ ）
4583 （B）2 （C）2 （D） 5911110、和S = 1 +++ … +的整数部分是（ ）
310000002（A）（A）1997 （B）1998 （C）1999 （D）2000 二、填空题
11、已知α，β都是锐角，tan
1???1= –，cos α – cos β =，则sin α – sin β = 。
32512、已知三棱锥P – ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，又知六条棱长的和为定值l，则此三棱锥的体积的最大值是 。
13、已知方程sin 4 x + cos 4 x – sin 2 x + k = 0有解，则k的取值范围是 。 14、在数集序列{ 1 }，{ 2，3 }，{ 4，5，6 }，{ 7，8，9，10 }，… 中第100个数集内所有数的和等于 。
15、F1，F2是双曲线x 2 – 3 y 2 = 3的左、右焦点，A，B两点在右支上，且与F2在同一直线上，则| F1A | + | F1B |的最小值是 。
16、在平面直角坐标系内，从点P ( 5，2 )发出的光线射向x轴，经x轴反射后射到直线y = x上，被反射后恰好经过点Q ( 10，9 )，光线由P到Q走过的路程的长等于 。
x2y217、已知A ( 4，0 )，B ( 2，2 )是椭圆+= 1内的点，M是椭圆上的动点，则| MA | + | MB |
259的最小值是 ，最大值是 。
18、M = { ( x，y ) | x = sin θ – cos θ，y = sin θ cos θ，θ∈R }，N = { ( x，y ) | x + y = 0，x，y∈R }，则M∩N = 。
19、F1 ( – 1，1 )，F2 ( – 1，– 3 )是椭圆的两个焦点，直线x + y = 1与椭圆有且仅有一个交点，则椭圆的中心到准线的距离是 。
20、已知x ≥ 1，y ≥ 1，且logax + logay = log a ( a x 2 ) + log a ( a y 2 )（其中a > 0，a ≠ 1）， 则log a ( x y )的取值范围是 。
22答案：一、A、B、C、D、C、C、A、D、D、B； 二、11、–52?73311431；12、l ；13、–≤ k ≤；14、500050；15、；16、410；17、
2238152– 1 ) }；19、
4；20、[ 2 – 22，2 + 22]。 1310 – 210，10 + 210；18、{ ( 1 –2，
yyAAyF1OBF2xOF1xQPOx第7题图yM1FM2O第17题图BAx第15题图第16题图
S3S3S3简解：1、V 1 =，V 2 =，V 3 =；
21654?36?6、S = 1 + 2 + … + 50 = 1275；8、
111++≥3； tanAtanBtanC9、y = cos x – cos 3 x = 4 cos x ( 1 – cos 2 x )，
y 2 = 16 cos 2 x ( 1 – cos 2 x ) 2 = 8 [ 2 cos 2 x ( 1 – cos 2 x ) ( 1 – cos 2 x ) ]
2cos2x?(1?cos2x)?(1?cos2x)3 648≤ 8 () =，y ≤
279310、2 (n?1–m) <
3；
k?m?n1< 2 (n–m?1)， k取n = 1000000，m = 1，得1998 < 2 (1000001– 1 ) < S， 取n = 1000000，m = 2，得S < 1 + 2 ( 100 – 1 ) < 1999； 11、tan ( α – β ) = –
34，cos ( α – β ) =，x = cos α – cos β > 0，α < β，y = sin α – sin β < 0， 45x 2 + y 2 = 2 – 2 cos ( α – β ) =12、x + y + z +x2?y2+211，y 2 =，y = –； 5551y2?z2+z2?x2= l，V =x y z；14、( 4951 ~ 5050 )；
315、| F1A | = 2 a + | F2A |，| F1B | = 2 a + | F2B |，| F1A | + | F1B | = 4 a + | AB |；
17、10 – | BF | = 10 – ( | M1F | – | M1B | ) ≤ | MA | + | MB | ≤ 10 + ( | M2B | – | M2F | ) = 10 + | BF |； 20、( log a x – 1 ) 2 + ( log a y – 1 ) 2 = 4，log a x = 2 cos θ + 1，log a y = 2 sin θ + 1； 三、解答题
21、设f ( x ) = a sin x + b cos x + c的图像经过点A ( 0，5 )，B (≤ 10，求c的取值范围。 解：由f ( 0 ) = f (又0 ≤ x ≤
??，5 )，当0 ≤ x ≤时，| f ( x ) | 22?) = 5，得a = b = 5 – c，因而f ( x ) = a ( sin x + cos x ) + c， 2?，∴ 1 ≤ sin x + cos x ≤2，当a > 0时，5 ≤ f ( x ) ≤2a + c； 2当a = 0时，f ( x ) = c = 5；当a < 0时，2a + c ≤ f ( x ) ≤ 5，又| f ( x ) | ≤ 10， ∴ |2a + c | ≤ 10，∴ – 10 ≤ 52– (2– 1 ) c ≤ 10，∴ – 52≤ c ≤ 152+ 20。
22、用数学归纳法证明：对任意的n∈N，n ≥ 2，都存在n个互不相等的自然数组成的集合M，使得对任意的a∈M和b∈M，| a – b | 都可以整除a + b。
第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1994年4月20日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、一个直角三角形的三条边的长度都是整数，且组成一个等差数列，则其中的一条边的长度可能是（ ）
（A）13 （B）41 （C）81 （D）91
2、如图1，以正方体ABCD – A1B1C1D1的四个顶点A，B1，C，D1为顶点构成四面体，此四面体的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
CDC1D1图1A1ABB133232（A） （B） （C） （D）
3234311511（A） （B） （C） （D）
81216164、方程2 sinx = cos x在[ 0，2 π ]上的根的个数是（ ）
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
3、半球形的碗内盛满了水，若将碗口平面倾斜30?，则碗内溢出的水的体积是碗的容积的（ ）
5、动点P到F(2，2)的距离等于到l：x + y –2= 0的距离的2倍，则P的轨迹是（ ） （A）椭圆 （B）双曲线的一支 （C）等轴双曲线 （D）实虚轴不等的双曲线 6、在f 1 ( x ) = log 2 (x2?1+ x ) + log 2奇函数的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
7、设a，b，c依次是方程log1x + 2 = x，log 2 ( x + 2 ) =?x，2 x + x – 2 = 0的根，则a，b，c
21x2?1?x，f 2 ( x ) = sec 2 x + csc 2 x，f 3 ( x ) = 2 tanx中，
的大小关系是（ ）
（A）b < c < a （B）a < c < b （C）b < a < c （D）c < b < a 8、函数f 1 ( x ) = | sin
xx2x2x| | cos|，f 2 ( x ) = sin+ cos，f 3 ( x ) = arcos ( sin x )的最小正周期分2233别是T1，T2，T3，则（ ）
（A）T1 < T2 < T3 （B）T3 < T2 < T1 （C）T1 < T3 < T2 （D）T3 < T1 < T2 9、在不等边三角形ABC中，sin A : sin B : sin C = x : y : z， 则( x – y ) cot
AMB图2CAB+ ( y – z ) cot+ ( z – x ) cot=（ ）
222（A）1 （B）0 （C）– 1 （D）– 3
10、如图2，圆台的上底半径为5 cm，下底半径为10 cm，母线AB长20 cm（其中B点在下底圆周上），从母线AB的中点M拉一条绳子，围绕圆台的侧面转到B点，当所用最短的时候，绳子上的点和圆台的上底圆周上的点之间的最短距离是（ ）
（A）6 cm （B）5 cm （C）4 cm （D）3 cm 二、填空题
11、自点M ( 3，2 ) 引圆x 2 + y 2 = 3的两条切线，切点分别为A与B，则以A、B为端点的劣弧的长度等于 。
12、方程sin ( π cos x ) = cos ( π sin x )的解集是 。
13、已知a > b > c > 1，且a，b，c依次成等比数列，则x = log a b，y = log b c，z = log c a这三个数的大小关系（用小于号连接）是 。 14、函数f ( x ) = 9 sin x + 16 csc x在区间( 0，
?]上的最小值是 。 215、前n个正整数中，所有不连续的相异两数之积的和是 。
16、设a，c是正数常数，对于每个实数t，P ( x t，y t ) 是抛物线y = a x 2 + t x + c的顶点坐标，则动点P的轨迹方程是 。
17、在三棱锥S – ABC中，侧棱SA，SB，SC两两垂直，SA = SB = 4，SC = 6，在三棱锥的内部有一个与三棱锥的四个面都相切的球，则此球的半径为 。
21?1?an18、数列{ a n }中，a 1 = a ( 0 < a < 1 )，a n + 1 =（n∈N*），则{ a n }的一个通项公式
2是a n = 。
19、设地球半径为R，A和B两个城市都位于北纬30°，且分别位于东经120°与西经120°，则沿北纬30°线从A到B的最短距离减去沿地球表面从A到B的最短距离的差等于 。 20、已知无盖的圆柱形桶的容积是V，用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格比为3 : 2，则当圆桶造价最低时，桶底半径R = 。 答案：一、C、B、C、B、C、A、A、C、B、C；
yDCdQPAMBx第10题图72?) R；12、{ x | x = 2 k π ± arccos±，k∈Z }；1344113、z < y < x；14、25；15、( n – 2 ) ( n – 1 ) n ( n + 1 )；16、y = – a
8二、11、( π – arccos
Oarcsina16?22322V3x 2 + c；17、；18、sin；19、(–) π R；20、。 n?123723?简解：10、将圆台沿AB展开，如图所示建立直角坐标系，所求问题转化为求圆弧AC上的点到直线MD的最短距离，设P（20 cos θ，20 sin θ），直线MD方程为4 x + 3 y – 120 = 0，则d =|4?20cos??3?20sin??120|4?322= 24 – 20 sin ( θ + φ ) ≥ 4；
14、f ( x ) = 9 sin x + 9 csc x + 7 csc x ≥ 2 · 9 + 7 · 1 = 25；
nnn?1n?1122215、任意相异两数积的和：S 1 =[ (?i) –?i]，连续两数积的和：S 2 =?i+?i；
2i?1i?1i?1i?1三、解答题 21、已知函数y =
a?3sinx?cosx3的值域是( – ∞，– 1 ]∪[，+ ∞ )，试求实数a的值。
1?sinx?2cosx2xx2x2x2x2xasin?acos?6sincos?cos?sina?3sinx?cosx222222 解：y ==
xxxxxx1?sinx?2cosxsin2?cos2?2sincos?2cos2?2sin2222222=
(a?1)cos2xxxxxx?6cossin?(a?1)sin2(a?1)cot2?6cot?(a?1)2222=22， xxxxxx3cos2?2cossin?sin23cot2?2cot?1222222(a?1)t2?6t?(a?1)x2
令t = cot，则y =，整理得( 3 y – a – 1 ) t + 2 ( y – 3 ) t – ( y + a – 1 ) = 0，223t?2t?1从而，△= 4 ( y – 3 ) 2 + 4 ( 3 y – a – 1 ) ( y + a – 1 ) ≥ 0，即4 y 2 + ( 2 a – 10 ) y – ( a 2 – 10 ) ≥ 0，
3由题设可知– 1和是方程4 y 2 + ( 2 a – 10 ) y – ( a 2 – 10 ) = 0的两根，所以
2– 1 +
32a?10= –，所以a = 4。 2422、（1）如图3，平面α ⊥圆柱M1M2的轴l，与侧面的交线是圆T1；平面β与α相交成锐角γ，（0 < γ <
?）交线为AB；β与圆柱的侧面的交线是椭2圆T2；以圆柱的过B的一条母线l'为y轴，以α内过B的圆T1的切线为x轴建立直角坐标系x – B – y；将圆柱的侧面沿l'切开，展开到平面x – B – y内。证明：在平面x – B – y内，椭圆T2的展开图形是正弦曲线。
（2）将图4中的平面x – O – y卷成圆筒，使y轴成为它的一条母线且点O与点P 两点重合，在圆筒的侧面上，正弦曲线y =2sin x ( 0 ≤ x ≤ π )变为椭圆，求此椭圆的离心率。
y2PO?2?x图4第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1995年4月24日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、将棱长为a的正四面体和棱长为a的正八面体的一个面重合，得到的新多面体的面数是（ ） （A）7 （B）8 （C）9 （D）10 2、设常数a ≥ 0，则“| x | + | y | ≥ a”是“x 2 + y 2 ≥ a 2”的（ ）
（A）必要不充分条件 （C）充分不必要条件 （B）充要条件 （D）不充分也不必要条件 3、方程3 ( sec 2 x + cot 2 x ) = 13在区间 ( – π，π ) 上的解的个数是（ ） （A）2 （B）4 （C）8 （D）16 4、若点P( x，y )的坐标适合方程arcsin x = arccos y，则点P组成的图形是（ ） （A）一个圆 （B）四分之三个圆 （C）半个圆 （D）四分之一个圆 5、等差数列{ a n }的前n项的和记为S n，已知a 1 > 0，S 7 = S 13，则当S n的值最大时，n =（ ） （A）8 （B）9 （C）10 （D）11
6、设1 < a < b < a 2，则在四个数2，log a b，log b a，log a b a 2中，最大的和最小的分别是（ ） （A）2，log b a （B）2，log a b a 2 （C）log a b，log b a （D）log a b，log a b a 2
7、适合方程arctan x + arccot y = π的点P ( x，y )的集合是某二次曲线C的一部分，则C的焦点坐标是（ ）
（A）( 2，2 ) 和 ( – 2，– 2 ) （B）( 2，– 2 ) 和 ( – 2，2 ) （C）(2，2) 和 ( –2，–2) （D）(2，–2) 和 ( –2，2) 8、如果关于x的方程x +x?11 ?x?= a有且仅有一个实根，则实数a的取值范围是（ ）
241，+ ∞ ) 2（C）[ 1，+ ∞ )
（D）[ 2，+ ∞ )
1（A）[，+ ∞ )
4（B）[
9、不等式1?log2x> 1 – log 2 x的解是（ ）
（A）x ≥ 2 （B）x > 1 （C）1 < x < 8 （D）x > 2 10、与105有大于1的公约数的两位自然数的和是（ ）
（A）2078 （B）2295 （C）2708 （D）3338 二、填空题
11、设曲线x 2 + y 2 + 2 x – 2 y = 0和x y + 2 = 0相交于A、B两点，则弦AB的中垂线的方程是 。
12、如果正六棱锥侧面的顶角等于侧棱和锥底平面所成的角，那么这个角的值等于 。 13、△AOB的顶点O在坐标原点，A，B两点在抛物线y 2 = 8 x上，且△AOB的垂心恰与抛物线焦点重合，则△AOB的外接圆的方程是 。
c2a214、△ABC的三边之长a，b，c满足等式+= b，则长为b的边所对应的角B的大小
a?bb?c是 。
15、由抛物线x 2 = 2 y，x轴和直线x = 21所围成的平面区域（边界除外）中，横、纵坐标都是整数的点的个数是 。
16、周长为10的直角三角形的面积的最大值是 。 17、实数x，y满足x 2 – 3 x y + y 2 = 2，则x 2 + y 2的值域是 。 18、当函数y = 2 ( 2 – sin x cos 2 x ) +
1( cos 4 x – cos 2 x )的值最小时，x的值是 。 219、位于北纬60°、东经17°的海面上A处的船要驶向位于同纬度、东经137°的B岛，设地球半径为R，则该船航行的最短距离是 。
20、已知A，B是平面上的两个定点，以A为圆心，定长l为半径作圆，M是该圆上的一个动点，线段MB的中垂线m交MA（或它的延长线）于P点，那么P点的集合构成的图形是 。
答案：一、A、A、C、D、C、A、B、A、B、C；
二、11、x + y = 0；12、arccos (3– 1 )；13、( x – 9 ) 2 + y 2 = 81；14、60°；15、1420；
45?16、75 – 502；17、[，+ ∞ )；18、2 k π –（k∈Z）；19、R arccos；
582l20、当AB > l时，以A、B为焦点，a =的双曲线；当AB = l时，A点；
2l当AB < l时，以A、B为焦点，a =的椭圆。
2简解：3、tan x = ±32?2?????5?5?或tan x = ±3，x = –，–，–，–，，，，；
6633366335、a 10 + a 11 = 0，a 10 > 0；6、log b a < log a b a 2 < 1 < log a b < 2；7、x y = – 1，x > 0； 8、(x?112
+) = a；9、[ 2，+ ∞ ) ∪( 1，8 ) = ( 1，+ ∞)； 4210、S = ( 12 + … + 99 ) + ( 10 + … 95 ) + ( 14 + … + 98 ) – ( 15 + … + 90 ) – ( 21 + … + 84 ) – ( 35 – 70 ) = 1665 + 945 + 728 – 630 = 2708； 12、b 2 = 2 a 2 – 2 a 2 cos θ，b =2a1?cos?，cos θ =– 2 = 0，cos θ =3– 1或–3– 1（舍去）；
b，cos θ =21?cos?，cos 2 θ + 2 cos θ ayyaO1xaOxbb第12题图
第4题图第11题图17、令x =
224( a + b )，y =( a – b )，则5 b 2 – a 2 = 4，x 2 + y 2 = a 2 + b 2 ≥ b 2 ≥；
522三、解答题
x2y221、设点F1是椭圆+= 1的左焦点，弦AB过该椭圆的右焦点F2，试求△F1AB的面积的
23最大值。
解：设AB：x = k y + 1，则有( 2 k + 3 ) y + 4 k y – 4 = 0，
2
2
yA(x1,y1)h1h2F1F2xB(x2,y2)第21题图S =
1× 2 c × ( h 1 + h 2 ) = | y 1 – y 2 |， 2S 2 = ( y 1 – y 2 ) 2 = ( y 1 + y 2 ) 2 – 4 y 1 y 2
4k448k2?482
= ( –2) – 4 × ( –2) =4，
2k?32k?34k?12k2?9则4 S 2 k 4 + ( 12 S 2 – 48 ) k 2 + ( 9 S 2 – 48 ) = 0，
?(3S2?12)?144?24S2k =，只需144?24S2– ( 3 S 2 – 12 ) ≥ 0即可， 22S2
即9 S 4 – 48 S 2 ≤ 0，∴ 0 ≤ S 2 ≤
1643，∴ S ≤。 33解法二：a =3，△F1AB的周长= ( | AF1 | + | AF2 | ) + ( | BF1 | + | BF2 | ) = 2 a + 2 a = 4 a = 43，设三边分别为a1，b1，c1，则由海伦公式得：
p443?(p?a1)?(p?b1)?(p?c1)?S =p(p?a1)(p?b1)(p?c1)≤p?==。 ?3327??当p – a1 = p – b1 = p – c1即a1 = b1 = c1=
34343时，S最大为。 3322、设P = λ ( a 4 + b 4 + c 4 ) + μ ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 )。已知当a = b = c > 0或a = b > 0，c = 0时，都有P ≥ 0。证明：当a，b，c是任意三角形的三边的长时，P ≥ 0。 证明：∵ 当a = b = c > 0时，P = 3 a 4 ( λ + μ ) ≥ 0，∴ λ + μ ≥ 0， ∵ 当a = b > 0，c = 0时，P = a 4 ( 2 λ + μ ) ≥ 0，∴ 2 λ + μ ≥ 0，
若λ ≥ 0，则P = λ ( a 4 + b 4 + c 4 – a 2 b 2 – b 2 c 2 – c 2 a 2 ) + ( λ + μ ) ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 )
=
1λ [ ( a 2 – b 2 ) 2 + ( b 2 – c 2 ) 2 + ( c 2 – a 2 ) 2 ] + ( λ + μ ) ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) ≥ 0， 2若λ < 0，则P = λ ( a 4 + b 4 + c 4 – 2 a 2 b 2 – 2 b 2 c 2 – 2 c 2 a 2 ) + ( 2 λ + μ ) ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 )
= λ ( a + b + c ) ( a + b – c ) ( a – b + c ) ( a – b – c ) + ( 2 λ + μ ) ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) ≥ 0， ∴ 当a，b，c是任意三角形的三边的长时，P ≥ 0。
第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1996年4月21日 上午 8：30—10：30
一、选择题（每小题6分，共60分） 1、若函数y = | sin ( ω x +（A）8 （B）4
??) – 1 |的最小正周期是，那么正数ω的值是（ ） 32 （C）2
（D）1
2、不等式x2?3> x – 1的解是（ ）
（A）x > 2 （B）x ≤ –3 （C）x > 2或x ≤ –3 （D）x > 1或x ≤ –3 3、如果sin α + cos α > tan α + cot α，那么角α的终边所在的象限是（ ） （A）一或二 （B）二或三 （C）二或四 （D）一或四
x2y24、如果直线y = k x – 1和椭圆+= 1仅有一个交点，则k和a的取值范围分别是（ ）
a41111（A）( –，) 和 ( 0，1 ] （B）(–，) 和 ( 0，1 )
22221111（C）[–，] 和 [ 0，1 ] （D）[ –，] 和 ( 0，1 )
222255、已知θ是第三象限的角，并且sin 4 θ – cos 4 θ =，那么sin 2 θ的值是（ ）
9（A）
2914 （B）–
292214 （C） （D）–
336、直线l过点( 0，2 )且与双曲线x 2 – y 2 = 6的右支有两个不同的交点，则l的倾斜角的取值范围是（ ）
151515)∪( π – arctan，π ) （B）( 0，arctan) 33331515（C）( π – arctan，π ) （D）( π – arctan，π )
433x7、当a，b < 0时，函数y =在区间 ( 0 , + ∞)上的最大值是（ ）
(x?a)(x?b)（A）( 0，arctan（A）– (|a|–|b|) 2 （B）(|a|+|b|) 2 （C）–11 （D） 22(|a|?|b|)(|a|?|b|)8、由平面M外一点向M引出的两条射线所夹的角是α ( 0 < α < π )，两条射线在M内的射影所夹的角是β ( 0 < β < π )，那么α与β之间的大小关系是（ ）
（A）α < β （B）α = β （C）α > β （D）不能确定的 9、若
lg2ax< 1的解为 ( 1，2 ]，则a的取值范围是（ ）
lg(a?x)2221，) （B）( 0，) （C）( 0，) （D）( – 1，1 ) 3333310、给出下列四个不等式：①当x∈R时，sin x + cos x > –；
2（A）( –
22
②对于正实数x，y及任意实数α，有x sin α · y cos α < x + y；
③x是非0实数，则| x +
1?| ≥ 2；④当α，β∈( 0，) 时，| sin α – sin β | ≤ | α – β |。
2x在以上不等式中不成立的有（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
二、填空题（每小题6分，共60分）
11、等比数列{ a n }的公比为q，前n项和S n = A，则前3 n项的和S 3 n = 。 12、适合等式arccos
1212– arccos ( –) = arcsin x的x的值是 。 131312
13、已知不等式() x – a > 4 – x的解集是( – 2，4 )，那么实数a的值是 。
214、已知i 2 = – 1，在集合{ s | s = 1 + i + i 2 + i 3 + … + i n，n ∈ N }中包含的元素是 。 15、已知tan θ∈( 1，3 )，且tan ( π cot θ ) = cot ( π tan θ )，则sin 2 θ的值等于 。 16、不等式
11<的解是 。
log2(x?1)log2x?117、函数y = arccos ( x – x 2 ) 的值域是 。
18、已知函数y = lg ( m x 2 – 4 x + m – 3 ) 的值域是R，则m的取值范围是 。 19、在三棱锥P – ABC中，∠APC =∠CPB =∠BPA =
?，并且PA = PB = 3，PC = 4，又M是底2面ABC内一点，则M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是 。 20、非负实数x，y满足x + 2 y ≤ 6，x 2 – 6 x + 5 ≤ y，则f ( x，y ) = x 2 + y 2 – 6 x – 8 y的最大值是 ，最小值是 。
答案：一、B、C、C、A、A、D、D、D、B、A；
二、11、( 1 + q n + q 2 n ) A；12、不存在；13、8；14、0，1，1 + i，i；15、无解；16、( 1，2 )
1144∪( 3，+ ∞ )；17、[ arccos，π ]；18、( 0，4 ]；19、；20、– 5，– 20。
441简解：20、( x，y ) 满足条件在直角坐标平面内对应的图形是图1中的阴影部分，又设f ( x，y ) = x 2 + y 2 – 6 x – 8 y = m，即( x – 3 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = m + 25此方程表示以点M( 3，4 )为圆心，以，m?25为半径的圆M，所以当m + 25最大（或最小）时，f ( x，y )也同时达到最大（或最小）由图2可以看出，当圆M与直线x + 2 y = 6相切时，m + 25最小为(|1?3?2?4?6|12?22) 2 = 5，m最
小为– 20；当圆M过点( 1，0 )，( 5，0 )时，m + 25最大为(3?1)2?(4?0)2= 20，m最大为– 5。
yyM434335O1- 4xO1- 435x图1三、解答题（每题15分，共30分）
图2
1(x?2)4?x23，n ∈ N。以f ( x )表示这个数21、设数列{ a n }是无穷递缩等比数列，并且a n =n(x?1)列的和。
⑴求 f ( x )的解析式；⑵作函数f ( x )的大致图象。
11(x?2)4?x2(x?2)4?x23=3(1) n – 1，解：⑴ ∵ 数列{ a n }是无穷递缩等比数列，且a n =x?1(x?1)n(x?1)n∴ 该数列的公比q =
11，并且|| < 1，∴ x < 0或x > 2， x?1x?11又4 –x 2 ≥ 0，有– 23≤ x ≤ 23，∵ x = ± 23时，a n = 0，∴ 只取– 23< x < 23，
3∴ – 23< x < 0或 2 < x < 23， ∵ f ( x )是数列{ a n }的和，
y1(x?2)4?x23a1x?1∴ f ( x ) =1==4?x2；
11?q31?x?1⑵它的图象是右图中实线部分。 22、⑴证明：函数 f ( x ) =x < x < tan x）； ⑵证明：当0 < x <
O2x第21题图??sinx在区间( 0，)上是单调递减的函数（已知在区间( 0，)上有sin
22x2??22时，sin x >x；⑶证明：当0 < x <时，sin x <·x。 44??证明：⑴设0 < x 1 < x 2 <
sinx1sinx2x2sinx1?x1sinx2?，则f ( x 1 ) – f ( x 2 ) =–= 2x2x1x2x1=
1[ ( x 2 sin x 1 – x 1 sin x 1 ) + ( x 1 sin x 1 – x 1 sin x 2 ) ] x1x21[ ( x 2 – x 1 ) sin x 1 – x 1 ( sin x 2 – sin x 1 ) ] x1x2x?x1x?x2x?x2?1[ ( x 2 – x 1 ) sin x 1 – x 1 ? 2 sin2cos1]（∵ 0 <1<，x 2 – x 1 > 0，sin x < x）
2222x1x2x?x1x?x21?[ ( x 2 – x 1 ) sin x 1 – x 1 ? 2 ?2cos1] （∵ cos x在区间( 0，)上是减函数）
222x1x2x?xx2?x1(x?x)cosx1[ sin x 1 – x 1 cos11] =21( tan x 1 – x 1 )（∵ x < tan x）> 0，
2x1x2x1x2=
=
>
>
∴ 函数 f ( x ) =
?sinx在区间( 0，)上是减函数；
2x???sinx在区间( 0，)上是减函数，特别有当0 < x <时，f ( x ) > f ()，
244x⑵由⑴中所证，f ( x ) =
即
sinx4=22，∴ 当0 < x 22x； >
4x???4sin?⑶由于f ( x ) =令t =
???sinx2在( 0，)上是减函数，∴ 当0 < x <时，f ( x ) > f ()，即sin x >x，
222x?????2?2– x，则x =– t（0 < t <），代入上式得sin (– t ) >(– t )，即cos t > 1 –t，∴ 1 2222?2?tt2tt?t?t22> 1 –t，∴ sin 2
即得sin x <2?·x。
第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1997年4月20日 上午 8：30—10：30
一、选择题
1、数列{ a n }的前n项和S n = n 2，则111++ … +的值等于a1?a2a2?a3a998?a999（ ）
（A）1996?11997?11998?11999?1 （B） （C） （D） 22222、不等式2 lg ( arcsin x ) ≤ lg ( arcsin x – 2 )的解集是（ ）
（A）( 0，1 ] （B）[ – sin 1，sin 2 ] （C）( 0，sin 2 ] （D）?
3、△ABC的三条边的长a，b，c依次成等比数列，则sin B + cos B的取值范围是（ ）
132，1 +] （C）( 0，2] （D）(，1 ] 22214、函数f ( x ) = sin x +的最小值是（ ）
sinx?2（A）( 1，2] （B）[（A）
32–2 （B）2 –2 （C）2 （D） 22D1A1DANMB1C15、如图，正方体ABCD – A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，AB的中点；A1，M，C，N四点在同一个平面内；则CD和平面A1MCN所成的角的正弦值是（ ）
CB1362（A） （B） （C） （D） 22346、直线y = x + 1与椭圆m x 2 + n y 2 = 1( m，n > 0 )相交于A，B两点，弦AB的中点的横坐标是
y2x21–，则双曲线2–2= 1的两条渐近线所夹的锐角等于（ ） 3mn11（A）2 arctan 2 （B）2 arctan （C）π – 2 arctan 2 （D）π – 2 arctan
22x2y27、如果+= 1表示双曲线，那么下列各椭圆中，与双曲线共焦点的是（ ）
?pqx2y2x2y2x2y2x2y2（A）+= 1 （B）+= – 1 （C）+= 1 （D）+= – 1
2q?pq2q?pq2p?qp2p?qp8、设等差数列{ a n }的前n项和为S n，且S 1 = 1，点( n，S n )在曲线C上，C和直线x – y + 1 = 0交于A、B两点，| AB | =6，那么这个数列的通项公式是（ ）
（A）a n = 2 n – 1 （B）a n = 3 n – 2 （C）a n = 4 n – 3 （D）a n = 5 n – 4 9、方程cos x = x + sin x的实根个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 10、S = 1 +111++ … +，则S的整数部分是（ ）
310000002（A）1997 （B）1998 （C）1999 （D）2000 二、填空题
11、等差数列{ a n }中，a 5 = 9，a 10 = 19，则2 n + 1 – 3是这个数列中的第 项。
12、如果函数f ( x ) = a x 2 + b x + c，x∈[ 2 a – 3，a 2 ]是偶函数，则a = ，b = 。 13、一半球的体积是18 π，则此半球的内接正方体的表面积是 。
14、某工厂的产值连续三年增长，已知年平均增长率为p，若这三年的增长率分别为x 1，x 2，x 3，则x 1 + x 2 + x 3的最小值是 。
15、已知函数f ( x ) = log a 2 ( x 2 – a x – a )，如果该函数的定义域是R，那么实数a的取值范围是 ；如果该函数的值域是R，那么实数a的取值范围是 。 16、不等式
11<的解集是 。
log2(x?1)log2x?117、抛物线y = a x 2 + b x + c的顶点在以该抛物线截x轴所得线段为直径的圆的内部，则a，b，c之间的关系是 。 18、函数y =
1?cosx的值域是 。
sinx?cosx?219、将平面直角坐标系以x轴为棱折成直二面角，则该坐标系中的直线x – y = 1折成的角的大小等于 。
20、若f ( x ) 是定义域为R的函数，并且f ( x + 2 ) × [ 1 – f ( x ) ] = 1 + f ( x )，f ( 1 ) = 2 +3，则f ( 1997 ) = 。
答案：一、B、D、A、B、C、B、D、C、A、B；
二、11、2 n – 1；12、– 3或1，0；13、36；14、3 p；15、( – 4，– 1 )∪(– 1，0 )，( – ∞，– 4 ]∪( 0，1 )∪( 1，+ ∞ )；16、( 1，2 )∪( 3，+ ∞ )；17、4 a c < b 2 < 4 a c + 4； 18、[ 0，1 ]；19、120°；20、3– 2。 三、解答题
21、某城市1996年底人口为92万人，人均住房面积5平方米。
（1）若该城市自1997年起人口年均增长率为2%，城市规划要求到2004年末人均住房面积不少于8平方米，那么，该城市自1997年起，每年新建住房面积至少是多少万平方米？ （答案要求精确到万平方米，以下数据供选用1.02 3 ≈ 1.06，1.02 6 ≈ 1.13，1.02 8 ≈ 1.17） （2）若该城市自1997年起每年新建住房40万平方米，为了使得到2004年末时，人均住房面积不少于8平方米，那么人口年均增长率不得高于多少？
（答案要求精确到0.001，当x很小时，可用近似公式 ( 1 + x ) n ≈ 1 + n x） 解：（1）1996年住房总面积是92 × 5 = 460万平方米，2004年末，人口达到92 ( 1 +
28
) 万人。1002004年末，住房总面积至少达到92 ( 1 +
28 2) ×8万平方米，这比1996年至少增加了92 ( 1 +) 1001008
×8 – 460万平方米，所以从1997年到2004年这8年中每年平均至少建房
92(1?28)?8?460100≈ 850万平方米。
答：自1997年起，每年至少新建住房50万平方米。
（2）设人口年平均增长率为x，则到2004年末，人口达到92 ( 1 + x ) 8（万人）。
2004年末，住房总面积达到92 × 5 + 8 × 40（万平方米），因为人均住房面积至少是8平方米，所以
7.592?5?8?408
≥ 8。因为x很小，所以可用1 + 8 x代替( 1 + x ) ，得x ≤。
100092(1?x)878（）。 10001000答：人口平均增长率不得高于
22、在△ABC中，三条边的长分别为a =7，b = 2，c = 3，作此三角形的内切圆O1；再作与边AB、AC及圆O1都相切的圆O2；又作与AB、AC和圆O2都相切的圆O3；如此继续下去作这样相切的圆，求所有这种圆的面积之和。
AO2O1CB第22题图EDb2?c2?a24?9?71解：由a =7，b = 2，c = 3，得cos A ===，
2?2?322bcADb?c?a5?7∴∠A = 60°，∠O1AD = 30°，∴ r 1 ===，23323AO1 = 2 r 1，而
r2AO2r1?r21111==，∴ r 2 =r 1，同理r 3 =r 2，…，r n =r n – 1，∴ S2 =S1，…，
33392r1r1AO1S1(1?qn)93?12?Sn =S n – 1，S1 = π r1=( 16 – 57)，∴ S =lim=S1 =( 16 – 57)。
n??166981?q第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1998年4月19日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、曲线f ( x，y ) = 0关于定点 M ( α，β )对称的曲线的方程是（ ） （A）f ( α – x，β – y ) = 0 （B）f ( α + x，β + y ) = 0 （C）f ( 2 α – x，2 β – y ) = 0 （D）f ( 2 α + x，2 β + y ) = 0 2、函数f ( x ) = (（A）0 < α + β <
?cos?xcos?x
) + () ，0 < α，β <，若x > 0时，f ( x ) < 2，则（ ）
2sin?sin??4 （B）0 < α + β <
?2 （C）
?4< α + β <
?2 （D）α + β >
?2
3、函数y = arccos ( a x – 1 )在[ 0，1 ]上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） （A）( 1，+ ∞ ) （B）( 0，+ ∞ ) （C）( 0，1 ] （D）( 0，2 ]
94、设S为半径等于1的圆内接三角形的面积，则函数4 S +的最小值是（ ）
S（A）9333 （B）53 （C）73 （D） 445、已知复数z的模为1，则函数 | z 2 + i z 2 + 1 | 的值域是（ ） （A）[ 1 –
22，1 +] （B）[2– 1，2+ 1 ] 22（C）[ 22– 1，22+ 1 ] （D）[ 2 –2，2+ 1 ] 6、若23x，2x?y，2x?1成等比数列，则点( x，y )在平面直角坐标系内的轨迹是（ ）
（A）一段圆弧 （B）椭圆的一部分 （C）双曲线一支的一部分 （D）抛物线的一部分 7、设a，b是方程x 2 + ( cot θ ) x – cos θ = 0的两个不等实根，那么过点A( a，a 2 )和B( b，b 2 )的直线与圆x 2 + y 2 = 1的位置关系是（ ）
（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）随θ的值而变化
8、P是抛物线y = x 2上的任意一点，则当P和直线x + y + 2 = 0上的点的距离最小时，P与该抛物线的准线的距离是（ ）
11（A） （B） （C）1 （D）2
929、二元函数f ( x，y ) = ( x – y ) 2 + ( x +（A）
1+ 1 ) 2的最小值是（ ） y13 （B）2 （C）2 （D） 2210、过球心的10个平面，其中任何三个平面都不交于同一条直线，它们将球面分成（ ） （A）92部分 （B）1024部分 （C）516部分 （D）100部分 二、填空题 11、若x，y∈[ –
??，]，a∈R，且分别满足方程x 3 + sin x – 2 a = 044EAFCBD和4 y 3 + sin y cos y + a = 0，则cos ( x + 2 y ) = 。
12、如图，已知四面体ABCD中，AD = BC = 1，E、F分别是AB、
1CD上的点，且BE=CF=，EF = a，( a > 0 )，则AD和BC所成的
EAFD2角θ = 。
13、不等式arcsin | x | > arccos | x | 的解集是 。
14、函数y = sin 2 x + 2 a sin x – a – 2，( a∈R )的最大值为u，则u是a的函数，该函数的解析式为 。
15、不等边△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，它们的公差为θ，又csc 2 A，csc 2 B，csc 2 C也成等差数列，则cos θ = 。
16、若α，β分别是方程log 2 x + x + 2 = 0和2 x + x + 2 = 0的根，则α + β = 。 17、抛物线y = 2 x 2和圆x 2 + ( y – a ) 2 = 1有两个不同的公共点，则a的值的集合是 。
118、若函数f ( x )满足：f ( x ) – 4 f () = x，则| f ( x ) | 的最小值是 。
x19、数列{ a n }的首项a 1 = 1，前n项和为S n = n 2 a n，则通项公式a n = ，数列{ a n }的和为 。
x2y220、椭圆2+2= 1的内接三角形的最大面积是 。
ba答案：一、C、D、D、C、B、C、B、B、A、A；
?5?9a2arccos??4二、11、1；12、?2???arccos5?9a??415(?a?)33；14、5(?a?1)3??3a?1(a??1)62?2；13、[ – 1, –)∪u???a?a?2(?1?a?1)；15、42?a?1(a?1)?(yx y = 1AO1x + y + 1 = 0第9题图x17422，1 ]；16、– 2；17、( – 1，1 )∪{}；18、；19、，
8152n(n?1)BC332；20、a b；
4略解：9、函数f ( x，y ) = ( x – y ) 2 + ( x +和双曲线x y = 1上的点( y，
1+ 1 ) 2可以看成为直线x + y + 1 = 0上的点( x，– x – 1 )y1)间距离的平方，因此，所求的最小值即为该直线和双曲线的最近y111距离的平方，由图可知，A( 1，1 )，B( – 1，– 1 )，C( –，–)，故所求的最小值就是| BC | 2 =；
222三、解答题
21、若f ( x ) = a x 2 + b x + c，( a，b，c∈R )在区间[ 0，1 ]上恒有| f ( x ) | ≤ 1。 （1）对所有这样的f ( x )，求 | a | + | b | + | c | 的最大值；
（2）试给出一个这样的f ( x )，使 | a | + | b | + | c | 确实取到上述最大值。 解：（1）依题设有| f ( 0 ) | = | c | ≤ 1，| f ( 1 ) | = | a + b + c | ≤ 1，| f (| a + b | = | a + b + c – c | ≤ | a + b + c | + | c | ≤ 2，
1ab) | = |++ c | ≤ 1，于是 242abab| a – b | = | 3 ( a + b + c ) + 5 c – 8 (++ c ) | ≤ 3 | a + b + c | + 5 | c | + 8 |++ c | ≤ 3+5+8 = 16，
4242从而，当a b ≥ 0时，| a | + | b | = | a + b |，∴ | a | + | b | + | c | = | a + b | + | c | ≤ 2 + 1 = 3； 当a b < 0时，| a | + | b | = | a – b |，∴ | a | + | b | + | c | = | a – b | + | c | ≤ 16 + 1 = 17。 ∴ max { | a | + | b | + | c | } = 17。
（2）当a = 8，b = – 8，c = 1时，f ( x ) = 8 x 2 – 8 x + 1 = 8 ( x –
12
) – 1， 2∴ 当x∈[ 0，1 ]时，有| 8 x 2 – 8 x + 1 | ≤ 1，此时| a | + | b | + | c | = 8 + 8 + 1 = 17。
22、右图是一个向右和向下方可以无限延伸的棋盘，横排为行，竖排为列，将正整数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中。 （1）求位于第3行、第8列的方格内的数字； （2）数字321在哪一个方格内？
（3）写出位于从左上角向右下角的对角线上的方格内 的数字组成的数列的通项公式； （4）求（3）中数列的前n项和。
解：（1）在第3行中，由左向右的数字依次是：a 1 = 6，a 2 = 9 = a 1 + 3， a 3 = 13 = a 2 + 4，a 4 = 18 = a 3 + 5，…，归纳可证得：a n = a n – 1 + ( n + 1 )， ∴ a 8 = a 7 + 9 = a 6 + 8 + 9 = … = a 4 + 6 + 7 + 8 + 9 = 18 + 30 = 48；
（2）为求数字321在哪个方格内，可将棋盘上的数字按从右上到左下的对角线方向排列如下：第1组 1；第2组 2，3；第3组 4，5，6；第4组 7，8，9，10；……，显然， 从第1组到第n组共包含1 + 2 + 3 + … + n =
1
3610259144813197121825
n(n?1)n(n?1)个数字，故第n组中最大数字是。22n(n?1)≥ 321的最小自然数n。试算，2∵ 321是第321个数字，∴ 321所在“组”的行号是满足：从
24?2525?26= 300和= 325，可得n = 25。第25组中最小的数是数列 1，2，4，7，11，…，22（即a n = a n – 1 + ( n – 1 )）中的第25个数，记为a 25。易知a 25 = a 24 + 24 = a 23 + 23 + 24 = … = a 1 + 1 + 2 + 3 + … + 24 = 301，因而321是第25组中第（321 – 301 + 1 ）个数，即第21个数。∴ 321位于第21行、第5列的方格内；
（3）位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 1，5，13，25，…不妨依次记为b 1，b 2，b 3，…，易见，b n是依（2）中排法的第2 n – 1组的中间一个数，即第n个数，∴ b n =
(2n?1)2n– ( n – 1 ) = 2 n ( n – 1 ) + 1 = 2 n 2 – 2 n + 1，n = 1，2，3，…； 22
2
2
2
nn(n?1)(2n?1)（4）利用自然数平方和的公式：1 + 2 + 3 + … + n =，可以计算得S n =?bk
6k?1n(2n?1)n(n?1)(2n?1)n(n?1)=?(2 k – 2 k + 1 ) = 2?m– 2?m+ n = 2 ×– 2 ×+ n =。
623k?1k?1k?12
2
nnn2第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1999年4月18日 上午8：30—10：30
一、选择题（每小题6分）
1、已知y = f ( x ) 是定义在R上的单调函数，则（ ） （A）函数x = f – 1 ( y ) 与y = f ( x )的图象关于直线y = x对称 （B）函数f ( – x ) 与f ( x )的图象关于原点对称 （C）f – 1 ( x )和f ( x )的单调性相反
（D）函数f ( x + 1 ) 和f – 1 ( x ) – 1的图象关于直线y = x对称 2、已知a，b，c彼此不等，并且它们的倒数成等差数列，则（A）
a?b=（ ） c?baaaa （B）– （C） （D）– ccbba2
y = 1的焦距是4，则a =（ ） 23、已知椭圆a 2 x 2 –（A）?1?5?1?31?51?3 （B） （C） （D） 44444、棱长为1的正方体和它的外接球与一个平面相交得到的截面是一个圆及它的内接正三角形，那么球心到该截面的距离等于（ ） （A）3 （B）333 （C） （D） 361215、在复平面内由，i?1，( i – 1 ) 3对应的点构成的三角形的最大内角等于（ ）
i22（A）π – arccos （B）– arccos （C）45? （D）120?
13136、P是双曲线f上任意一点，F是f的一个焦点，l是与F对应的准线，P到l的距离为d，f的准线间距为L，焦距为c，则下列关系式中成立的是（ ） （A）
|PF|c|PF|L|PF||PF|cL> （B）= （C）= （D）= ddddLcLc7、若函数y = log1| x + a |的图象不经过第二象限，则a的取值范围是（ ）
2（A）( 0，+ ∞ )， （B）[1，+ ∞ ) （C）( – ∞，0 ) （D）( – ∞，– 1 ] 8、若函数y = cos 2 x – 3 cos x + a 的最小值是–
3，则a y的值域是（ ） 2（A）[ 2
–92，2] （B）[ 2
32–32，2] （C）[ 2
92–32，2 ] （D）[ 2，2]
929、函数y = –4?x2（x ≤ 1）的曲线长度是（ ） （A）
2?4?8? （B） （C）2 π （D） 333pn?1?qn10、已知n∈N，常数p，q均大于1，且都不等于2，则limn?2=（ ） n?1n???p?2q（A）
p?11?p11111111或 （B）–或– （C）或或2 （D）–或–或2
p?2qp?2q2q2qp2qpp2qp二、填空题（每小题6分）
11、将一个三棱锥和一个三棱柱接成一个多面体，这个多面体的面数最少可达到 。 12、某个圆的圆心在双曲线的一条准线上，并且圆经过双曲线的一个顶点和一个焦点，则双曲线的离心率是 。 13、若无穷等比数列{ a n }满足limn???a1?a4?a7??a3n?23=，则该数列的公比是 。 4a1?a2??an14、已知函数f ( x ) = lg ( a x 2 – 2 x + 1 )的值域是一切实数，则实数a的取值范围是 。 15、适合方程tan 19 x ° =
cos99??sin99?的最小正整数x =________。
cos99??sin99?111116、数列，，，，… 的前n项和等于__ _____。
315356317、实数x，y满足方程x 2 + y 2 = 6 x – 4 y – 9，则2 x – 3 y的最大值与最小值的和等于 。 18、直线l ：a x – y – ( a + 5 ) = 0（a是参数）与抛物线f ：y = ( x + 1 ) 2的相交弦是AB，则弦AB的中点的轨迹方程是 。
19、在一支长15cm粗细均匀的圆柱形蜡烛的下端固定一个薄金属片（体积不计），使蜡烛恰好能竖直地浮于水中，上端有1cm高的部分露在水面以上，已知蜡烛的比重为0.85 g / cm 3，现在点燃蜡烛，当蜡烛被水淹没时，它的剩余长度是 。
20、某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停一次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走一层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度为S，为使S最小，电梯应当停在第 层。
答案：一、D、B、C、C、A、C、D、A、B、C； 二、11、5；12、2；13、n21?3；14、[ 0，1 ]；15、36；16、；17、24；
2n?1618、y = 2 x 2 – 7（x ≥ 4或x ≤ – 2）；19、三、解答题（每题15分）
25；20、14。 3x221、已知点A(5，0 )和曲线y =?1（2 ≤ x ≤ 25）上的点P1，P2，…，Pn，若| P1A |，| P2A
411|，…，| PnA | 成等差数列并且公差d∈ (，)，求n的最大值。
55解：设P1( x 1，y 1 )，P2( x 2，y 2 )，…，Pn( x n，y n )，且2 ≤ x 1 < x 2 < … < x n ≤ 25，
22xn55xn?85xn?16则| PnA | =(xn?5)?y=(xn?5)?=x n – 2， ?1=24422n2∴ | PnA | – | P1A | = ( n – 1 ) d， ∴ ( n – 1 ) =
|PnA|?|P1A|55=( x n – x 1 ) ≤( 25– 2 ) < 25 – 55≤ 13，∴ n ≤ 14。
d2d2d2222、设x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3是实数，且满足x1+ x22+ x3≤ 1。
22222证明不等式：( x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 – 1 ) 2 ≥ ( x1+ x22+ x3– 1 ) ( y1+ y2+ y3– 1 )。 22222证明：当x1+ x22+ x3= 1时，原不等式显然成立。当x1+ x2+ x3< 1时，
222222可设f ( t ) = ( x1+ x22+ x3– 1 ) t – 2 ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 – 1 ) t + ( y1+ y2+ y3– 1 )，
= ( x 1 t – y 1 ) 2 + ( x 2 t – y 2 ) 2 + ( x 3 t – y 3 ) 2 – ( t – 1 ) 2，
∴ f ( 1 ) = ( x 1 – y 1 ) 2 + ( x 2 – y 2 ) 2 + ( x 3 – y 3 ) 2 > 0，又是开口向下的抛物线，
22222从而△= 4 ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 – 1 ) 2 – 4 ( x1+ x22+ x3– 1 ) ( y1+ y2+ y3– 1 ) ≥ 0， 22222即( x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 – 1 ) 2 ≥ ( x1+ x22+ x3– 1 ) ( y1+ y2+ y3– 1 )。
历届(1-18)希望杯数学邀请赛高二试题(含答案) 全国通用
