(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
分析
一、函数的概念与表示 1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射
集合A，B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A→B的映射f:(x,y)→(x2+y2,xy)，求象(5，2)的原象.
13.已知集合A到集合B＝｛0，1，2，3｝的映射f:x→x?1，则集合A中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A.
2、函数。构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 1、下列各对函数中，相同的是 （ ） x?1A、f(x)?lgx2,g(x)?2lgx B、f(x)?lg,g(x)?lg(x?1)?lg(x?1) x?1C、 f(u)?1?u1?v D、f（x）=x，f(x)?,g(v)?1?u1?vx2 2、M?{x|0?x?2},N?{y|0?y?3}给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 （ ） A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 y 2 1 O y 2 1 1 2 x O y 3 2 1 2 1 1 2 x O y 1 2 x O 1 2 x 二、函数的解析式与定义域 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]?4x?3，求f(x)
配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。
11例2 已知f(x?)?x2?2 (x?0) ，求 f(x)的解析式
xx三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知f(x?1)?x?2x，求f(x?1)
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数y?x2?x与y?g(x)的图象关于点(?2,3)对称，求g(x)的解析式
1
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过
1解方程组求得函数解析式。例5 设f(x)满足f(x)?2f()?x,求f(x)
x1例6 设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)?g(x)?,试求f(x)和g(x)的解析式
x?1六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：f(0)?1，对于任意实数x、y，等式f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，求f(x) 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设f(x)是N?上的函数，满足f(1)?1，对任意的自然数a,b 都有f(a)?f(b)?f(a?b)?ab，求
f(x)
1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； 6.（05江苏卷）函数y?log0.5(4x2?3x)的定义域为 2求函数定义域的两个难点问题 （1） 已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。
1)的定义域是[-1,3],求f(x)的定义域 （2） 已知f(2x－例2设f(x)?lg2?xx2，则f()?f()的定义域为__________ 2?x2x变式练习：f(2?x)?4?x2，求f(x)的定义域。 三、函数的值域 1求函数值域的方法
①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x∈R的分式； ④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数
⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 11．（直接法）y?22．f(x)?2?24?2x?x2 3．（换元法）y??x?2x?1 x?2x?3x2?13xx4. （Δ法） y?25. y?26. (分离常数法) ①y? x?1x?4x?1②y?3x?13(?2?x?4) 7. (单调性)y?x?(x?[?1,3])8.①y?2x?12x1，②x?1?x?12
y?x?1?x?1 9．(图象法)y?3?2x?x2(?1?x?2)10．(对勾函8数)y?2x?(x?4) x11. (几何意义)y?x?2?x?1 四．函数的奇偶性 1．定义:2.性质：
①y=f(x)是偶函数?y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数?y=f(x)的图象关于原点对称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]
3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系 1 已知函数f(x)是定义在(??,??)上的偶函数. 当x?(??,0)时，f(x)?x?x4，则当x?(0,??)时，f(x)? . ?2x?b2 已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数。（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若对任意的2?at?R，不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立，求k的取值范围； 3 已知f(x)在（－1，1）上有定义，且满足x,y?(?1,1)有f(x)?f(y)?f(证明：f(x)在（－1，1）上为奇函数； x?y), 1?xy4 若奇函数f(x)(x?R)满足f(2)?1，f(x?2)?f(x)?f(2)，则f(5)?_______ 五、函数的单调性 1、函数单调性的定义：2 设y?f?g?x??是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则y?f?g?x??在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则y?f?g?x??在M上是增函数。
2例 函数f(x)对任意的m,n?R，都有f(m?n)?f(m)?f(n)?1，并且当x?0时，f(x)?1， ⑴求证：f(x)在R上是增函数； ⑵若f(3)?4，解不等式f(a2?a?5)?2 3函数y?log0.1(6?x?2x2)的单调增区间是________ ?(3a?1)x?4a,x?14(高考真题)已知f(x)??是(??,??)上的减函数，那么a的取值范围是 logx,x?1a?111（A）(0,1) （B）(0,) （C）[,) 3731（D）[,1) 7一：函数单调性的证明1.取值 2，作差 3，定号 4，结论
3
二：函数单调性的判定，求单调区间
y?x2?2x?3 y?x2?2x?3 y??x2?5x?4 y?1?x?2x?322
1y?log2(x2?3x?2) y?2x2?4x1?1??1? y?2 y????2???5
x?2x?x??x?y?x?aa （a?0） y?x? （a?0） xx三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数f(x)?x2?bx?c对任意实数t都有
f(2?t)?f(t?2)，那么 A、f(2)?f(1)?f(4) B、f(1)?f(2)?f(4)C、f(2)?f(4)?f(1) C、f(4)?f(2)?f(1)
2.解不等式例：定义在（－1，1）上的函数f(x)是减函数，且满足：f(1?a)?f(a)，求实数a的取值范围。 例：设
是定义在
上的增函数，
，且
，
求满足不等式
3.取值范围例: 函数
的x的取值范围.
在
上是减函数,则 的取值范围是_______．
x?1?(3a?1)x?4a例：若f(x)??是R上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
logxx?1a?A.(0,1)
111 B.(0,) C.[,)
373
1D.[,1) 74. 二次函数最值例：探究函数f(x)?x2?2ax?1在区间?0,1?的最大值和最小值。
例：探究函数f(x)?x2?2x?1在区间?a,a?1?的最大值和最小值。
5.抽象函数单调性判断
例：已知函数f(x)的定义域是(0,??)，当x?1时，f(x)?0，且f(xy)?f(x)?f(y)
⑴求f(1)，⑵证明f(x)在定义域上是增函数
11)≥2的x的取值范围 ⑶如果f()??1，求满足不等式f(x)?f(3x?2例：已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝
2－. 3
4
(1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
x1
例：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
x2
(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.
六．函数的周期性：
1．（定义）若f(x?T)?f(x)(T?0)?f(x)是周期函数，T是它的一个周期。说明：nT也是f(x)的周期
（推广）若f(x?a)?f(x?b)，则f(x)是周期函数，b?a是它的一个周期
对照记忆f(x?a)?f(x?a)说明：f(a?x)?f(a?x)说明： 2．若f(x?a)??f(x)；f(x?a)?1f(x)；f(x?a)??1f(x)；则f(x)周期是2a 1 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 (A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 2 定义在R上的偶函数f(x)，满足f(2?x)?f(2?x)，在区间［-2,0］上单调递减，设a?f(?1.5),b?f(2),c?f(5)，则a,b,c的大小顺序为_____________ 3 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且f(x?2)?1?f(x)1?f(x),若f(1)?2?3,则 f (2005)= . 4 已知f(x)是(-?，??)上的奇函数，f(2?x)??f(x)，当0?x?1时，f(x)=x，则f(7.5)=________ 例11 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(2?x)??f(x)，当x?[0,2]时f(x)?2x?x2⑴求证：f(x)是周期函数；⑵当x?[2,4]时，求f(x)的解析式； ⑶计算： 七．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析) 1、已知函数f(x)?4x2?mx?5在区间[?2,??)上是增函数，则f(1)的范围是（ ） （A）f(1)?25 (B) f(1)?25 (C) f(1)?25 (D) f(1)?25 2、方程mx2?2mx?1?0有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_______ 八．指数式与对数式 1．幂的有关概念
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