习题4解答（编写：金建华）
1、填空题： （1）lim2x?sin2x= 。 3x?0sinx1(2x)3132x?sin2x846解 l?lim（用到； x?sinx~x，据台劳公式）?lim??663x3x332（2）函数y?x?3x在 是单调减少。
解 y??3x?6x?3x(x?2)?0?0?x?2，填[0，2]或（0，2）； （3）曲线y?xe解 y??e?3x2的拐点坐标是 。
?3x?3xe?3x?(1?3x)e?3x，y????3e?3x?3(1?3x)e?3x??3e?3x(1?1?3x)
y???0?x0?x222，显然y??在x0两侧变号，故所求点(,2) 333e2（4）曲线y?e?6x?x在区间 是凹的（即向上凹）。
解 y??e?6?2x，y???e?2，y???0?x?(??,??)为所求 （5）函数f(x)?4?8x?3x的极大值是 。
解 f?(x)?24x?12x?12x(2?x)在x?2两侧变号，左正右负，x?2为极大值点，极大值为f(2)?20。
23234xx0，a?1)的n阶麦克劳林多项式是 。 （6）函数a(a〉解 ax?exlna在x?0的Taylor多项式由ex的展式来写： （7）曲线y?xln(e?1/x)的斜渐近方程为 。
xy1?limln(e?)?1， x??xx??x1故所求为y?x?。
e解 k?lim（8）抛物线y?4x?x在其顶点处的曲率为 。
解 y??4?2x,2y????2，顶点处x?2，y?(2)?0，y??(2)??2，?k?2。
（9）limx?01?x?1?x?2= 。
x21解 l?lim21?x?2x121?x?11?x?1?x11?2xlim??lim. 4xx1?x1?x4
11?x1?x??111（注，用1?x?1?x?x2?o(x2)更好： 428此时，分子=1?（10）若lim11111x?x2?1?x?x2?o(x2)?2~?x2.） 28284x?x0f(x)?f(x0)?2（n为正整数），则当n为奇数时，f(x)在x=x0处 ，n(x?x0)当n为偶数时，f(x)在x?x0处 。
解 条件?分式最终为正（极限的保号性）。于是n偶时，f(x)?f(x0)?0,f(x0)极小；n奇时，f(x)?f(x0)与x?x0同号.f(x0)非极值. （11）曲线y?xe凹。
解 y??e?x?x的拐点为 ，且该曲线在区间 上凹，在区间 下?xe?x，y????2e?x?xe?x，令y???0，得x?2。
?2当x?2时，y???0，曲线为凸的；当x?2时，y???0，曲线为凹的；拐点为(2,2e) （12）若f(x)在?0,a?上二阶可导，且f??(x)?M，又知f(x)在（0，a）内取得极大值，则必有f?(0)?f?(a) Ma。
解 设在点x0极大，则f?(x0)?0，于是f?(0)?f?(0)?f?(x0)?f??(?)x0， f?(a)?f?(a)?f?(x0)?f??(y)a?x0，
于是 f?(0)?f?(a)?f??(?)x0?f??(y)a?x0?M(x0?a?x0)?Ma
2．选择题
（1） 函数f(x)?x?1和g(x)?2x?1，在区间?0,1?上满足柯西定理的?等于（ ）
2111 （B）1 （C） （D） 2342?11解 ???? （A）
222（A）
（2） 罗尔定理中的三个条件：f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，且f(a)?f(b)是
f(x)在?a,b?内至少存在一点?，使得f'(?)?0成立的（ ）。 （A）必要条件 （B）充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件。 解 充分条件
（B）
（3）下列函数中在?1,e?上满足拉格朗定理条件的是（ ）
（A）ln(lnx) （B）lnx (C)
1lnx (D)ln(2?x)。 解 lnx在[1,e]满足（B）
(4) 设limf(x)f?(x)f(xx?x0g(x)为未定型，则limx?x存在是lim)0g?(x)x?x也存在的（ ）
0g(x)（A）必要条件 （B）充要条件 （C）充分条件 （D）既非充分也非必要条 解 充分 （C）
（5）若在区间(a,b)函数f(x)的f?(x)?0,f??(x)?0，则f(x)在(a,b)内是（ ）
（A）单调减少，曲线上凹 （B）单调减少，曲线下凹
（C）单调增加，曲线上凹 （D）单调增加，曲线下凹 解 f??0对应单增，f???0对应上凸，于是（D）形为右图。
（6）设f(x)在（0，+?）内可导，且f?(x)?0，若f(0)?0，则在（0,??）内有（ （A）f(x)?0 （B）f(x)?0
（C）f(x)单调趋向于+? （D）f(x)的符号不能确定 解 注意在x?0处，函数可能不连续，选（D）. 反例形为右图。 （7）设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2=1，则在x?a处（ ） （A）f(x)的导数存在，且f?(a)?0 （B）f(x)的导数不存在 （C）f(x)取得极小值 （D）f(x)取得极大值
）
华科微积分辅导书习题答案
