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1例1 若0＜a＜1，则不等式(x－a)(x－)＜0的解是
a[ ]
1A．a＜x＜a
1B．＜x＜aa1C．x＞或x＜aa
1D．x＜或x＞aa1分析 比较a与的大小后写出答案．
a11解 ∵0＜a＜1，∴a＜，解应当在“两根之间”，得a＜x＜．aa
选A．例2 x2?x?6有意义，则x的取值范围是．
分析 求算术根，被开方数必须是非负数．
解 据题意有，x2－x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3或x≤－2．
例3 若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________．
分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，考虑韦达定理．
解 根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知
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?b??(?1)?2?1??a得 ?1???(?1)×2??2??aa?11，b??． 22例4 解下列不等式 (1)(x－1)(3－x)＜5－2x (2)x(x＋11)≥3(x＋1)2 (3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)
3(4)3x2?3x?1＞?x22
1(5)x2?x?1＞x(x?1)3分析 将不等式适当化简变为ax2＋bx＋c＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．
答 (1){x|x＜2或x＞4}
3(2){x|1≤x≤}
2(3)?
(4)R (5)R
说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．
1例5 不等式1＋x＞的解集为
1?x[ ]
A．{x|x＞0}
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B．{x|x≥1}
C．{x|x＞1} D．{x|x＞1或x＝0}
分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．
1＞0，1?x
?x2x2通分得＞0，即＞0，1?xx?1解 不等式化为1＋x－
∵x2＞0，∴x－1＞0，即x＞1．选C．
说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．
例6 与不等式x?3≥0同解的不等式是 2?x[ ]
A．(x－3)(2－x)≥0 B．0＜x－2≤1
C．2?x≥0 x?3D．(x－3)(2－x)≤0
?(x?3)(2?x)≥0，解法一 原不等式的同解不等式组为?
?x?2≠0．故排除A、C、D，选B．
x?3解法二 ≥0化为x＝3或(x－3)(2－x)＞0即2＜x≤3
2?x两边同减去2得0＜x－2≤1．选B． 说明：注意“零”．
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例7 不等式ax＜1的解为{x|x＜1或x＞2}，则a的值为 x?1[ ]
1A．a＜21C．a＝21 B．a＞21 D．a＝－2
(a?1)x?1分析 可以先将不等式整理为＜0，转化为
x?1[(a－1)x＋1](x－1)＜0，根据其解集为{x|x＜1或x＞2}
可知a－1＜0，即a＜1，且－11＝2，∴a＝． a?12答 选C．
说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．
例8 解不等式3x?7≥2．
x2?2x?3解 先将原不等式转化为
3x?7?2≥0
x2?2x?3?2x2?x?12x2?x?1即2≥0，所以2≤0．x?2x?3x?2x?3
17由于2x2＋x＋1＝2(x＋)2＋＞0，48∴不等式进一步转化为同解不等式x2＋2x－3＜0， 即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1．解集为{x|－3＜x＜1｝．
说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．
例9 已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a
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＋2
≤0}，若B?A，求a的范围．
分析 先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关
系，结合B?A，利用数形结合，建立关于a的不等式．
解 易得A＝{x|1≤x≤4} 设y＝x2－2ax＋a＋2(*)
(1)若B＝?，则显然B?A，由Δ＜0得
4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2．
(2)若B≠?，则抛物线(*)的图像必须具有图1－16特征： 应有{x|x1≤x≤x2}?{x|1≤x≤4}从而
??12－2a·1＋a＋2≥0?218?4－2a·4＋a＋2≥0 解得12≤a≤
7??2a?1≤≤4?2?综上所述得a的范围为－1＜a≤18． 7说明：二次函数问题可以借助它的图像求解． 例10 解关于x的不等式
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(x－2)(ax－2)＞0．
分析 不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论． 解 1° 当a＝0时，原不等式化为 x－2＜0其解集为{x|x＜2}；
222° 当a＜0时，由于2＞，原不等式化为(x－2)(x－)＜0，其解aa
集为2{x|＜x＜2}； a223° 当0＜a＜1时，因2＜，原不等式化为(x－2)(x－)＞0，其解aa
集为2{x|x＜2或x＞}；
a4° 当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，其解集是{x|x≠2}；
225° 当a＞1时，由于2＞，原不等式化为(x－2)(x－)＞0，其解aa
集是2{x|x＜或x＞2}．
a从而可以写出不等式的解集为： a＝0时，{x|x＜2｝；
2a＜0时，{x|＜x＜2｝；
a20＜a＜1时，{x|x＜2或x＞}；
aa＝1时，{x|x≠2}；
2a＞1时，{x|x＜或x＞2}．
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说明：讨论时分类要合理，不添不漏．
例11 若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}(0＜α＜β)，求cx2＋bx＋a＜0的解集．
分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：
解法一 由解集的特点可知a＜0，根据韦达定理知：
?b－＝α＋β，??a ?c?＝α·β．??a?b＝－(α＋β)＜0，??a即? c?＝α·β＞0．??a∵a＜0，∴b＞0，c＜0．
又bab×?， accb11＝－(＋)cαβca11由＝α·β，∴＝·acαβ∴对cx2＋bx＋a＜0化为x2＋①
②bax＋＞0， cc由①②得11ba11，是x2＋x＋＝0两个根且＞＞0， αβccαβba11∴x2＋x＋＞0即cx2＋bx＋a＜0的解集为{x|x＞或x＜}．
ccαβ解法二 ∵cx2＋bx＋a＝0是ax2＋bx＋a＝0的倒数方程．
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且ax2＋bx＋c＞0解为α＜x＜β，
∴cx2＋bx＋a＜0的解集为{x|x＞11或x＜} ． αβ说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．
例12 解关于x的不等式：x＜1－a(a∈R)． x?1分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．
解 原不等式变为xax?1?a－(1－a)＜0，即＜0， x?1x?1进一步化为(ax＋1－a)(x－1)＜0． (1)当a＞0时，不等式化为
(x－＜1}；a?1a?1a?1)(x－1)＜0，易见＜1，所以不等式解集为{x|＜xaaa
(2)a＝0时，不等式化为x－1＜0，即x＜1，所以不等式解集为{x|x＜1}；
(3)a＜0时，不等式化为(x－a?1a?1)·(x－1)＞0，易见＞1，所以aaa?1不等式解集为{x|x＜1或x＞}．a
综上所述，原不等式解集为：
当a＞0时，{x|a?1或x＜1}．aa?1＜x＜1}；当a＝0时，{x|x＜1}；当a＜0时，{x|x＞a
例13 (2001年全国高考题)不等式|x2－3x|＞4的解集是________．
分析 可转化为(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4两个一元
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二次不等式．
由(1)可解得x＜－1或x＞4，(2)?．
答 填{x|x＜－1或x＞4}．
例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则
[ ]
A．(
U
A)∩B＝R
U
B．A∪(C．(
U
B)＝R
U
A)∪(B)＝R
D．A∪B＝R
分析 由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即
A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即 B＝{x|5－a＜x＜5＋a} ∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6 ∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R． 答 选D．
说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查 高者未必贤，下者未必愚
克
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高一数学一元二次不等式解法经典例题
