专题08 函数奇偶性型
[真题再现]
例1 （2020·扬州中学五月考·13）圆x?y?6x?4y?0与曲线y?222x?4相交于x?3A,B,C,D点四点，O为坐标原点，则OA?OB?OC?OD?_______.
例2 （2017·全国Ⅲ·理）已知函数f(x)?x?2x?a(eA．?2x?1?e?x?1)有唯一零点，则a=
11 B． 23
2C．
1 22 D．1
2例3 已知关于x的方程x?2alog2(x?2)?a?3?0有唯一解，则实数a的值为
________.
2x?1例4 （2020·启东中学最后一卷·12）已知函数f(x)?x?sinx在区间[?k,k]的
2?1值域为[m,n]，则m?n的值为_______.
[强化训练]
1.若函数
f(x)?x2?2ax?4a2?3的零点有且只有一个，则实数a? .
2.(2017·南京、盐城·二检·12)若函数f(x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足
条件的实数m组成的集合为 ．
3.已知函数f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)，a?R ，则函数f(x)零点的个数所有可能值构成
的集合为 ．
4.函数y?1的图象与函数y?2sin?x(?2?x?4)的图像所有交点的横坐标之和等于x?1（ ）
A.2 B. 4 C.6 D.8
5.已知函数满足，若函数与图象的交点
为 则 （ ）
A. 0 B. m C. 2m D. 4m
解析：
专题08 函数奇偶性型
[真题再现]
例1
【分析】注意发现圆与一次分式函数y?中线的向量表示，将所求转化即可.
【解析】由圆方程x?y?6x?4y?0，可得?x?3???y?2??13，圆心坐标为(?3, 2)
222x?4的图象均关于点(?3, 2)对称，利用三角形x?322 y?2x?42(x?3)?22??2?，其对称中心为(?3, 2). x?3x?3x?3在同一直角坐标系中，画出圆和函数图像如右图所示： 数形结合可知，圆和函数都关于点M(?3, 2)对称， 故可得其交点A和C，B和 D 都关于点M(?3, 2)对称. 故OA?OC?2OM，OB?OD?2OM 所以OA?OB?OC?OD?4OM?413. 5C64D2MOA2B510 例2 【答案】C 4【分析】如果利用导数研究f(x)的零点，就会小题大做，容易陷入困难.由函数与方程思想，函数的零点满足2x?x=ae设
26?x?1?e1?x?. 8=ex?1?e??x?1?，显然g?x?是由函数y?e?e向右平移
x?x
一个单位而得到，易知y?e?e是偶函数且在0,???上是增函数.故g?x?关于
x?x?直线
x?1对称，且在?1,???上是增函数，在???,1?上是减函数，
g?x?min?g?1??2.
设h?x??2x?x，显然h?x??2x?x关于直线x?1对称，顶点为?1,1?.
22若a?0，则函数y?a?g?x?关于直线x?1对称，且在1,???上是减函数，在???,1上是增函数，最大值为2a，2a?h?x?max.
若y?a?g?x?的图象与h?x?的图象有一个公共点A，根据对称性必有另一个公共点B.所以，a?0不合题意；
若a???0，函数y?a?g?x?关于直线x?1对称，且在?1,???上是增函数，在
???,1?上是减函数，最小值为2a.若y?a?g?x?的图象与h?x?的图象只有一个
公共点，必有2a?1，得a?2x?11. 2【解析】f(x)??x?1??a(e?e?x?1)?1，令g(x)?f(x?1)?1?x2?a(ex?e?x)
则易知g(x)是偶函数，所以f(x)图象关于直线x?1对称，欲使f(x)有唯一零点，
必有f(1)?0，即2a?1?0，所以a?例3 【答案】1
1. 2【分析】利用隐藏的对称性，易得f(0)＝0，求得a＝1或a＝－3，再利用数形结合，将增解舍弃.
【解析】通过对函数f(x)＝x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3的研究，可发现它是一个偶函数，那么它的图象就关于y轴对称，若有唯一解，则该解必为0．
将x＝0代入原方程中，可求得a＝1或a＝－3．这就意味着，当a＝1或a＝－3时，原方程必有一解0，但是否是唯一解，还需进一步验证．
当a＝1时，原方程为x2＋2log2(x2＋2)－2＝0，即2log2(x2＋2)＝2－x2，该方程实数根的研究可能过函数y＝2log2t和函数y＝4－t的交点情况来进行，不难发现，此时是符
专题08 函数奇偶性型-2021年高考数学复习压轴题解法分析与强化训练附真题及解析
