2011年北约自主招生数学试题
1、已知平行四边形两边长分别是3和5，一条对角线是6．求另一条对角线的长度．
222、求过抛物线y?2x?2x?1,y??5x?2x?3两交点的直线方程．
3、等差数列a1,a2,???满足a3??13,a7?3.这个数列的前n项和为Sn.数列S1,S2???中哪一项最小？并求出这个最小值．
4、在?ABC中，如果a?b?2c,证明?C?60.
5、是否存在四个正实数，它们两两乘积分别是2，3，5，6，10，16． 6、设
C1和C2是平面上两个不重合的固定圆周．设C是该平面上的一个动圆，它与
C1和C2均相
切．问：C的圆心轨迹是何种曲线？证明你的结论． 7、求
x?1?2x?1?????2011x?1的最小值.
【参考答案】
1、解答：设平行四边形为ABCD，且AB?5,BC?3,AC?6，易得：cos?ABC??1，所以5cos?BAC?112，BD?9?25?2?3?5??32,BD?42． 1515?y?2x2?2x?122、解答：设两条抛物线额交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，联立两条抛物线的方程?，消去x2?y??5x?2x?3得：7y??6x?1，A,B两点的坐标均满足这个方程，所以直线AB的方程为6x?7y?1?0．
a?a33、解答：方法一：因为公差d?7?4，所以a1??21,a6??1?0,a7?3?0，所以S6最小，最小值
4S6??66；
23?232?2方法二：Sn?2n?32n?2?n?，当n?6时，Sn的最小值为S6??66． ??48??4、解答：方法一、在?ABC中，由余弦定理得：
2?a?b?22a?b???a2?b2?c23a2?3b2?2ab4ab12??cosC?????，因为函数y?cosx在(0,?)上单
2ab2ab8ab8ab2?调递减，所以C?．
3A?BA?BA?BA?B方法二、依题意得：sinA?sinB?2sinC?2sin， cos?4sincos2222A?B1A?B?2??cos?，因为函数y?cosx在(0,?)上单调递减，所以??A?B??C?．
2223335、解答：假设存在满足题意的四个正实数a,b,c,d，且假定0?a?b?c?d，依题意得：
b2b5ab?2,ac?3,bd?10,cd?16，由前两个式子得?，由后两个式子得?，矛盾，所以不存在满足题意
c8c3的四个数．
6、解答：设⊙C1的半径为r1，⊙C2的半径为r2，⊙C的半径为r，且假定r12?r2．
（1）当r1?r2时，
①若⊙C1与⊙C2外离，当⊙C与⊙C1、⊙C2均外切或均内切时，点C的轨迹是C1C2的中垂线；当⊙C与
⊙C1、⊙C2一个外切一个内切时，点C的轨迹是以C1,C2为焦点，实轴长为r1?r2的双曲线；
②若⊙C1与⊙C2外切，当⊙C与⊙C1、⊙C2均外切或均内切时，点C的轨迹是C1C2的中垂线（除去C1C2的中点）；当⊙C与⊙C1、⊙C2一个外切一个内切时，点C的轨迹是直线C1C2（除去C1C2的中点）； ③若⊙C1与⊙C2相交，此时⊙C必与⊙C1、⊙C2均外切或均内切，点C的轨迹是两圆公共弦在圆外部分的两条射线． （2）当r1?r2时，
①若⊙C1与⊙C2外离，当⊙C与⊙C1、⊙C2均外切或均内切时，点C的轨迹是以C1,C2为焦点，实轴长为r1?r2的双曲线；当⊙C与⊙C1、⊙C2一个外切一个内切时，点C的轨迹是以C1,C2为焦点，实轴长为r1?r2的双曲线；
2
②若⊙C1与⊙C2外切，当⊙C与⊙C1、⊙C2均外切或均内切时，点C的轨迹是以C1,C2为焦点，实轴长为
r1?r2的双曲线（除去⊙C1与⊙C2的切点）；当⊙C与⊙C1、⊙C2一个外切一个内切时，点C的轨迹是直线C1C2（除去点C1,C2及⊙C1与⊙C2的切点这三个点）；
③若⊙C1与⊙C2相交，当⊙C与⊙C1、⊙C2均外切或均内切时，点C的轨迹是以C1,C2为焦点，实轴长为r1?r2的双曲线（除去⊙C1与⊙C2的两个交点）；当⊙C与⊙C1、⊙C2一个外切一个内切时，点C的轨迹是以C1,C2为焦点，长轴长为r1?r2的椭圆（除去⊙C1与⊙C2的两个交点）；
④若⊙C1与⊙C2内切，当⊙C与⊙C1、⊙C2均外切或均内切时，点C的轨迹是直线C1C2（除去⊙C1与⊙C2的切点）；当⊙C与⊙C1、⊙C2一个外切一个内切时，点C的轨迹是以C1,C2为焦点，长轴长为r1?r2的椭圆（除去⊙C1与⊙C2的两个切点）；
⑤若⊙C1内含⊙C2，且不同心，当⊙C与⊙C1内切、与⊙C2外切时，点C的轨迹是以C1,C2为焦点，长轴长为r1?r2的椭圆；当⊙C与⊙C1、⊙C2均内切时，点C的轨迹是以C1,C2为焦点，长轴长为r1?r2的椭圆；
r?r⑥若⊙C1内含⊙C2，且同心，当⊙C与⊙C1内切、与⊙C2外切时，点C的轨迹是以C1为圆心，半径为122r?r的圆；当⊙C与⊙C1、⊙C2均内切时，点C的轨迹是以C1为圆心，半径为12的圆．
2?an，f(x)?|x?a1|?|x?a2|??|x?an|．由绝对值的最高理论知， 7、解答：首先设a1?a2? n为奇数时，当x?an?1时，f(x)有最小值；
2 n为偶数时，当x??an,an?任何值时，f(x)有最小值．
?1????22 于是分解之，
11111f(x)?|x?1|?|x?|?|x?|?|x?|?|x?|?|x?|?22333共有：
?|x?1|?2011?|x?1|， 20112011个2012?2011=2024066个断点（包括多重）．
2111设a1?1,a2?a3?,a4?a5?a6?,a2024066?．
2011232024066?1011533． 因为
21现在求a1011533和a1011534的值．设a1011533?，则1?2??t?1011533，
t1?2??t?1?1011533．
11可得t?1422．且a1011533?a1011534?，故x?时，f(x)的值最小．
14221422 1+2+2011=
111f()?1??1?2??142214221422
?1?1422?11?1423??1?14221423?2011?1491?1?832.1422711
2011年北约数学试题
