《指数函数与对数函数的关系》学案1(新人教B版必修1)

指数函数和对数函数

知识目标

b

1.了解n次根式，常见的幂函数，恒等式alogNa＝N，logaa＝b及其指数的积、商、幂运算.

2.理解分数指数幂，有理数指数幂和指数函数、对数函数的定义.

3.掌握指数函数、对数函数的图像和性质，会使用计算器求lgN，lnN. 能力目标

b

1.会求n次根式、分数指数幂和有理数指数幂，灵活使用恒等式alogNa＝N，logaa＝b和指数的积、商、幂运算.

2.利用计算器求lgN，lnN，logac.

3.能通过图像了解幂函数、指数函数、对数函数的性质.

4.学会使用幂函数、指数函数、对数函数来解决简单的实际问题.

4.1 指 数

4.1.1 指数幂

对于任何复杂的问题我们总是从一些简单的问题开始入手，指数函数也不例外，在讨论指数函数之前我们有必要了解一些基础的知识，以利于今后对指数函数的学习，指数幂的提出就是基于这样的目的. 一、整数指数幂

*)即an表示n个a的连乘积，称为a的n次幂，当正整数指数幂an＝a×a×…×a (n∈N个nm，n∈N*时，正整数指数幂有如下的运算性质：

＋

(1)aman＝amn (2)(am)n＝amn (3)(ab)n＝anbn am－

(4)n＝amn(a≠0，且m＞n) a

am

当a≠0，m＝n时，n＝1，则规定a0＝1.

a

an－

当a≠0，m＜n时，规定m＝anm.

a

1－

特别地，当m＝n＋1时，可推出a1＝. a

对于指数幂的运算可以由正整数扩展到整数指数幂的范畴. 对于整数指数幂有下面的运算性质：

＋

(1)am·an＝amn (m，n∈Z) (2)(am)n＝amn (m，n∈Z) (3)(ab)n＝anbn (n∈Z) 二、根式

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.

一般地，如果一个数的n次方等于a(n>1，且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根. 当n为奇数，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数；这时，a的n

n

次方根用符号a表示；当n为偶数时，正数的n次方根是一对相反数，这时正数a的正的nnn次方根用符号a表示；负数没有偶次方根；0的任何次方根都为0，记作0＝0.

n正的n次方根和负的n次方根可以合并写成±a(a＞0).

n

我们把形如a的式子称为n次根式，其中n是大于1的正整数，称n是根指数，a称为被开方数.

根据n次方根的意义，可得：

n(a)n＝a

例1 求下列各式的值.

52

(1)(－15)5 (2)(－5)2 34

(3)(a－1)3 (4)(m－n)4 4

(5)(15－b)4

52

解 (1)(－15)5＝－15 (2)(－5)2＝5 34

(3)(a－1)3＝a－1 (4)(m－n)4＝|m－n| 4

(5)(15－b)4＝|15－b| 总结：

当n为奇数时，(a)＝a；当n为偶数时，三、分数指数幂

同学们可能会发现，以前我们讨论的指数都是整数范围内的数，那么指数能不能扩展到有理数呢，如果能扩展，那么怎样扩展？这就是这一部分要讨论的内容.

1

对于7，你可能会很迷惑，它究竟是什么东西？让我们来利用指数幂的性质来看看它2

到底是什么.

如果把整数指数幂的运算法则推广到分数指数幂，那么应当有：

11(7)2＝7×2＝7 22

根据算术平方根的定义有：

(7)2＝7

从以上两式可以得到以下的关系：

1

7＝7 2

想一想 对于a1你又能得出什么样的类似结论呢？ n 如果把整数指数幂的性质进行推广，我们就很容易得到如下规定：

1na＝a n

类似地，当m，n都是正整数且n＞1时，我们规定：

nma＝an m

nn

n??a(a≥0)

a＝|a|＝?.

?－a(a＜0)?

n

当a≠0，m，n都是正整数且n＞1时，我们规定：

n1a－＝ mn

am

通过以上的分数指数幂的定义，整数指数幂就被扩展到有理数指数幂.可以证明： 对于有理数指数幂仍有整数指数幂的运算性质，只要其中出现的每个有理数指数幂都有意义，即：

＋

(1)aman＝amn (m，n∈Q) (2)(am)n＝amn (m，n∈Q)

(3)(ab)n＝anbn (a>0，b>0，n∈Q) 例2 计算下列分数指数幂的值.

21(1)27 (2)100

321?－2

?1?－3 (3)? (4)?9??16?422

解 (1)27＝33×＝32＝9

331

(2)100＝100＝10

21?－2－2－2(3)?＝(3)＝34＝81 ?9?1?33－4(4)?－＝(2)－＝8 ?16?44

例3 用分数指数幂的形式表示下列各式.

3

(1)a3a (2)a4a6 (3)a2a3

17

解 (1)a3a＝a3a＝a 2263

(2)a4a6＝a4a＝a6

3

31717a2a?＝?a?＝a (3)a2a3＝??2?2?2?2446例4 计算3·9·81.

12141112546

3·9·81＝3·(3)·(3)＝3＋＋＝3

2462233211115

例5 计算(2ab)(－6ab)÷(－3ab).

322366211115

解 (2ab)(－6ab)÷(－3ab) 322366

211115

＝[2×(－6)÷(－3)]a＋－b＋－ 326236

＝4ab0＝4a 解

四、计算器在指数运算中的应用

对于一些简单的问题我们可以采用手算的方法，但是对于一些复杂的计算过程，手算几乎是无法完成的，这时候就需要我们借助计算器和计算机来求得近似的结果.下面就如何通过计算器(以KENKO KK－88TL型号为例)进行指数运算做一个简单介绍.

例6 求下列各数的近似值.

654(1)15 (2)76 (3)193 (4)

6215

解 (1)依次按下列各键：AC 屏幕显示结果3.872983346 因此，15≈3.872983346.

1 5 ＝

x

SHIFT

(2)依次按下列各键：AC 5 ○ y 7 6 ＝

x屏幕显示结果2.377730992 5

因此，76≈2.377730992. (3)依次按下列各键：AC 4 屏幕显示结果9.100498883 4

因此，193≈9.100498883.

(4)依次按下列各键：AC 6 ÷

eq \\x(() \\x(6) \\o(\\s\%up7(SHIFT),\\s\\do5(○))

\\o(\\s\%up7(\\r(x),\\s\\do5( ),\\x(xy))) \\x(1) \\x(5) \\x(x2) ) ＝

屏幕显示结果2.432880798 因此，66≈2.432880798.

SHIFT 3

○ y 1 9 x ＝

x

x

152总结：

SHIFT

例6中都出现○这个键，它的作用是使紧跟在它后面的那个键按照该键上方标明的内容进行计算. 习题A 1.写出下列实数的平方根.

1

(1)16 (2)0.25 (3) (4)64

49

14

(5) (6) (7)9 (8)225 8149

2.计算下列分数指数幂的值.

2322(1)8 (2)16 (3)243 (4)32－ 34553112(5)4 (6)0.0001－ (7)20－ (8)23

24353.用根式的形式表示下列各式.

2525(1)a (2)a (3)a－ (4)a－

33332123(5)a (6)a (7)a (8)a

7395

44.计算3·27.

5.求下列各式的值.

3752(1)(－18)3 (2)(16)5 (3)(－6)7 (4)(6)2

3256(5)(36)2 (6)(61)5 (7)(－76)3 (8)(26)6 6.利用计算器求下列各数的近似值.

6545374(1)158 (2)193 (3)233 (4) (5)467 (6)364 (7)569 (8)262

29.63 习题B 1.求下列各式的值.

(1)(5)3

325?3883 (2)－ (3)? (4)25 ?4?21251252

532444 (6)163 (7)625 (8)81 243

2.计算下列各式.

115(1)a·a·a－ 2441112

(2)2x－(x－2x－) 3233

3.计算下列分数指数幂的值.

2523

(1)(－8) (2)0.0001－ (3)(－32) (4)16 34542211

(5)(－96) (6)(－27) (7)16 (8)(81) 5324

4.求下列各式的近似值. 36

(1)15 (2)(－9)5 510040(3)368 (4)25