4.无量词的全称命题要先补回量词再否定.
[再练一题]
3.(1)命题“存在x0∈R,使得e≤0”的否定是( )
【导学号:97792010】
A.不存在x0∈R,使得e>0 B.对任意x∈R,e>0 C.对任意x∈R,e≤0 D.存在x0∈R,使得e>0
(2)命题“任意x∈R,若y>0,则x+y>0”的否定是________.
【解析】 (1)命题“存在x0∈R,使得e≤0”的否定是对任意x∈R,e>0. (2)已知命题是一个全称命题,其否定为特称命题,先将“任意”换成“存在”再否定结论,即命题的否定是:
存在x0∈R,若y>0,则x0+y≤0. 【答案】 (1)B
(2)存在x0∈R,若y>0,则x0+y≤0
若命题“?x∈[-1,+∞),x-2ax+2≥a”是真命题,求实数a的取值范围. 【精彩点拨】 全称命题为真,意味着对限定集合[-1,+∞)中的每一个元素x,x2
2
2
22
2
x0
x0
xxx0
x0
x-2ax+2≥a都成立,因此属于恒成立问题,即转化为x∈[-1,+∞)时,(x-2ax+2)min≥a.
【自主解答】 ∵命题“?x∈[-1,+∞),x-2ax+2≥a”为真命题, ∴x≥-1时,x-2ax+2≥a恒成立. 令f(x)=x-2ax+2=(x-a)+2-a, 则当a≥-1时,f(x)min=f(a)=2-a.
??a≥-1,∴?2
??2-a≥a,
2
2
2
2
2
2
解得-1≤a≤1.
当a<-1时,f(x)min=f(-1)=3+2a.
??a<-1,∴?
?3+2a≥a,?
解得-3≤a<-1,
综上可得-3≤a≤1. 即a的取值范围为[-3,1].
求解含有量词的命题中参数范围的策略
1.对于全称命题“?x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值),即a>f(x)max(或a<f(x)min).
2.对于特称命题“?x0∈M,a>f(x0)(或a<f(x0))”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值),即a>f(x)min(或a<f(x)max).
[再练一题]
4.已知函数f(x)=x-2x+5,若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数
2
m的取值范围.
【解】 不等式m-f(x0)>0,可化为m>f(x0),若存在一个实数x0,使不等式m>f(x0)成立,只需m>f(x)min.
又因为f(x)=(x-1)+4, ∴f(x)min=4,∴m>4.
所以,所求实数m的取值范围是(4,+∞).
2
1.下列说法中,正确的个数是( ) ①存在一个实数x0,使-2x0+x0-4=0; ②所有的素数都是奇数;
③在同一平面中,斜率相等且不重合的两条直线都平行; ④至少存在一个正整数,能被5和7整除. A.1 C.3
2
2
B.2 D.4
【解析】 ①方程-2x+x-4=0无实根;②2是素数,但不是奇数;③④正确.故选B.
【答案】 B
2.下列命题中,正确的全称命题是( ) A.对任意的a,b∈R,都有a+b-2a-2b+2<0 B.菱形的两条对角线相等 C.?x0∈R,x0=x0
D.对数函数在定义域上是单调函数
【解析】 A项中含有全称量词“任意”,因为a+b-2a-2b+2=(a-1)+(b-1)≥0,所以不正确;B项在叙述上没有全称量词,实际上是“所有的”,因为菱形的对角线不一定相等,所以错误;C项是特称命题;D项正确.
【答案】 D
2
2
2
2
22
2
3.设命题p:?n∈N,n>2,则﹁p为( ) A.?n∈N,n>2 C.?n∈N,n≤2
22
2nnB.?n∈N,n≤2 D.?n∈N,n=2
2
2nnn【解析】 因为“?x∈M,p(x)”的否定是“?x∈M,﹁p(x)”,所以命题“?n∈N,
n2>2n”的否定是“?n∈N,n2≤2n”.故选C.
【答案】 C
4.若命题“?x∈(3,+∞),x>a”是真命题,则a的取值范围是________. 【解析】 由题意知当x>3,有x>a恒成立,故a≤3. 【答案】 (-∞,3]
5.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并写出这些命题的否定. (1)有一个奇数不能被3整除; (2)?x∈Z,x与3的和不等于0; (3)有些三角形的三个内角都为60°; (4)每个三角形至少有两个锐角;
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
【解】 (1)是特称命题,否定为:每一个奇数都能被3整除. (2)是全称命题,否定为:?x0∈Z,x0与3的和等于0.
(3)是特称命题,否定为:任意一个三角形的三个内角不都为60°. (4)是全称命题,否定为:存在一个三角形至多有一个锐角.
(5)是全称命题,省略了全称量词“任意”,即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”,否定为:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.
2
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高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 1.4.3 含有一个量词
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