4.无量词的全称命题要先补回量词再否定.
[再练一题]
3.(1)命题“存在x0∈R，使得e≤0”的否定是( )
【导学号：97792010】
A.不存在x0∈R，使得e＞0 B.对任意x∈R，e＞0 C.对任意x∈R，e≤0 D.存在x0∈R，使得e＞0
(2)命题“任意x∈R，若y＞0，则x＋y＞0”的否定是________.
【解析】 (1)命题“存在x0∈R，使得e≤0”的否定是对任意x∈R，e＞0. (2)已知命题是一个全称命题，其否定为特称命题，先将“任意”换成“存在”再否定结论，即命题的否定是：
存在x0∈R，若y＞0，则x0＋y≤0. 【答案】 (1)B
(2)存在x0∈R，若y＞0，则x0＋y≤0
若命题“?x∈[－1，＋∞)，x－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围. 【精彩点拨】 全称命题为真，意味着对限定集合[－1，＋∞)中的每一个元素x，x2
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2
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2
x0
x0
xxx0
x0
x－2ax＋2≥a都成立，因此属于恒成立问题，即转化为x∈[－1，＋∞)时，(x－2ax＋2)min≥a.
【自主解答】 ∵命题“?x∈[－1，＋∞)，x－2ax＋2≥a”为真命题， ∴x≥－1时，x－2ax＋2≥a恒成立. 令f(x)＝x－2ax＋2＝(x－a)＋2－a， 则当a≥－1时，f(x)min＝f(a)＝2－a.
??a≥－1，∴?2
??2－a≥a，
2
2
2
2
2
2
解得－1≤a≤1.
当a＜－1时，f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
??a＜－1，∴?
?3＋2a≥a，?
解得－3≤a＜－1，
综上可得－3≤a≤1. 即a的取值范围为[－3,1].
求解含有量词的命题中参数范围的策略
1.对于全称命题“?x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(或a＜f(x)min).
2.对于特称命题“?x0∈M，a＞f(x0)(或a＜f(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max).
[再练一题]
4.已知函数f(x)＝x－2x＋5，若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数
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m的取值范围.
【解】 不等式m－f(x0)>0，可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.
又因为f(x)＝(x－1)＋4， ∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞).
2
1.下列说法中，正确的个数是( ) ①存在一个实数x0，使－2x0＋x0－4＝0； ②所有的素数都是奇数；
③在同一平面中，斜率相等且不重合的两条直线都平行； ④至少存在一个正整数，能被5和7整除. A.1 C.3
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B.2 D.4
【解析】 ①方程－2x＋x－4＝0无实根；②2是素数，但不是奇数；③④正确.故选B.
【答案】 B
2.下列命题中，正确的全称命题是( ) A.对任意的a，b∈R，都有a＋b－2a－2b＋2＜0 B.菱形的两条对角线相等 C.?x0∈R，x0＝x0
D.对数函数在定义域上是单调函数
【解析】 A项中含有全称量词“任意”，因为a＋b－2a－2b＋2＝(a－1)＋(b－1)≥0，所以不正确；B项在叙述上没有全称量词，实际上是“所有的”，因为菱形的对角线不一定相等，所以错误；C项是特称命题；D项正确.
【答案】 D
2
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3.设命题p：?n∈N，n＞2，则﹁p为( ) A.?n∈N，n＞2 C.?n∈N，n≤2
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2nnB.?n∈N，n≤2 D.?n∈N，n＝2
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2nnn【解析】 因为“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，﹁p(x)”，所以命题“?n∈N，
n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”.故选C.
【答案】 C
4.若命题“?x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________. 【解析】 由题意知当x>3，有x>a恒成立，故a≤3. 【答案】 (－∞，3]
5.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定. (1)有一个奇数不能被3整除； (2)?x∈Z，x与3的和不等于0； (3)有些三角形的三个内角都为60°； (4)每个三角形至少有两个锐角；
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
【解】 (1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除. (2)是全称命题，否定为：?x0∈Z，x0与3的和等于0.
(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°. (4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角.
(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.
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高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 1.4.3 含有一个量词
