高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 1.4.3 含有一个量词

1.4.1 全称量词

1.4.2 存在量词

1.4.3 含有一个量词的命题的否定

1.理解全称量词与全称命题、存在量词与特称命题的定义.

2.会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断它们的真假.(重点) 3.能写出含有一个量词的命题的否定.(难点、易错点)

[基础·初探]

教材整理1 全称量词与存在量词

阅读教材P21思考～P22第1段，P22思考～P23例2以上部分，完成下列问题. 1.全称量词与全称命题 (1)全称量词

短语：“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词. (2)全称命题

含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.

2.存在量词与特称命题 (1)存在量词

短语：“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词. (2)特称命题

含有存在量词的命题，叫做特称命题.特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M，p(x0)读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( )

(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.( ) (3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× 教材整理2 含有一个量词的命题的否定

阅读教材P24探究～P24例3以上部分，P25探究～P25例4以上部分，完成下列问题.

命题 全称命题p 全称命题的否定﹁p 特称命题p 特称命题的否定﹁p 命题的表述 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，﹁p(x0) ?x0∈M，p(x0) ?x∈M，﹁p(x)

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题﹁p的否定是p.( )

(2)?x0∈M，p(x0)与?x∈M，﹁p(x)的真假性相反.( )

(3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√

[小组合作型]

全称命题与特称命题的区别 (1)下列命题中全称命题的个数是( ) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的等差数列也是等比数列； ③三角形的内角和是180°. A.0 C.2

B.1 D.3

【解析】 观察分析命题是否含有“任意”“所有的”“每一个”等全称量词.命题①含有全称量词，而命题③可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有两个全称命题.

【答案】 C

(2)下列命题中特称命题的个数是( ) ①至少有一个偶数是质数； ②?x0∈R，log2x0>0； ③有的向量方向不确定. A.0 C.2

B.1 D.3

【解析】 ①中含有存在量词“至少有一个”，所以是特称命题； ②中含有存在量词符号“?”，所以是特称命题； ③中含有存在量词“有的”，所以是特称命题. 【答案】 D

(3)用全称量词或存在量词表示下列语句： ①不等式x＋x＋1>0恒成立；

121

②当x为有理数时，x＋x＋1也是有理数；

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③等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立； ④方程3x－2y＝10有整数解.

【解】 ①对任意实数x，不等式x＋x＋1>0成立. 121

②对任意有理数x，x＋x＋1是有理数.

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③存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立. ④存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.

1.判断一个命题是特称命题，还是全称命题，要根据命题中所含量词来判断. 2.有些命题中表面上看并不含量词，但从意义上理解却含有“全部”“所有”等这样的意思，也是全称命题.

[再练一题]

1.(1)下列语句是特称命题的是( )

【导学号：97792009】

A.整数n是2和7的倍数 B.存在整数n，使n能被11整除 C.x＞7

D.?x∈M，p(x)成立

【解析】 B选项中有存在量词“存在”，故是特称命题，A和C不是命题，D是全称命题.

【答案】 B

(2)用全称量词或存在量词表示下列语句： ①有理数都能写成分数形式； ②方程x＋2x＋8＝0有实数解； ③有一个实数乘以任意一个实数都等于0.

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2

2

【解】 ①任意一个有理数都能写成分数形式. ②存在实数x，使方程x＋2x＋8＝0成立. ③存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0.

2

全称命题与特称命题的真假判断 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假. (1)?x∈N,2x＋1是奇数； (2)存在一个x0∈R，使

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＝0； x0－1

(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1； (4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}.

【精彩点拨】 先确定命题类型，然后推理证明或举反例来判断真假.

【自主解答】 (1)是全称命题.因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.

(2)是特称命题.因为不存在x0∈R，使1

＝0成立，所以该命题是假命题. x0－1

(3)是特称命题.当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题. (4)是特称命题.存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题.

1.要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).

2.要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题.

[再练一题]

2.试判断下面命题的真假. (1)?x∈R，x＋2>0； (2)?x∈N，x≥1； (3)?x0∈Z，x0<1； (4)?x0∈Q，x0＝3.

【解】 (1)由于?x∈R，都有x≥0，因而有x＋2≥2>0，即x＋2>0，所以命题“?x∈R，

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x2＋2>0”是真命题.

(2)由于0∈N，当x＝0时，x≥1不成立，所以命题“?x∈N，x≥1”是假命题.

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(3)由于－1∈Z，当x0＝－1时，能使x0<1，所以命题“?x0∈Z，x0<1”是真命题. (4)由于使x0＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数.因此，任何一个有理数的平方都不等于3，所以命题“?x0∈Q，x0＝3”是假命题.

[探究共研型]

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全称命题与特称命题的否定 探究1 全称命题和特称命题的否定各有什么特点？ 【提示】 全称命题的否定是特称命题； 特称命题的否定是全称命题.

探究2 不等式有解和不等式恒成立有何区别？

【提示】 不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题.

写出下列命题的否定，并判断真假. (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)非负数的平方是正数； (3)有的四边形没有外接圆； (4)?x0，y0∈Z，使得 2x0＋y0＝3.

【精彩点拨】 本题主要考查全称命题与特称命题的否定.可先将命题写成较明显、易理解的形式，再对一些关键词语进行否定.

【自主解答】 (1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不都平行”.由平行四边形的定义知，这是假命题.

(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”.因为0＝0，不是正数，所以该命题是真命题.

(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”.因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.

(4)命题的否定：“?x，y∈Z，都有2x＋y≠3”. ∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3， ∴原命题为真，命题的否定为假命题.

对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题

1.确定命题类型，是全称命题还是特称命题.

2.改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词. 3.否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.

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