解 设围成的圆锥的底半径为r? 高为h? 依题意有
R(2???) R(2???)?2?r ? r??
2?R2(2???)24????2?R h?R?r?R?? 22?4?222圆锥的体积为
2R2(2???)214???? V??? ?R32?4?23R22 (0???2?)? ?(2???)?4???a24?22x 7? 根据函数极限的定义证明lim?x?6?5? x?3x?32 证明 对于任意给定的??0? 要使|x?x?6?5|??? 只需|x?3|??? 取???? 当
x?322x?x?6x0?|x?3|??时? 就有|x?3|??? 即|?5|??? 所以lim?x?6?5?
x?3x?3x?3 8? 求下列极限? 2x1? (1)lim?x?x?1(x?1)2 (2)limx(x2?1?x)?
x??? (3)lim(2x?3)x?1?
x??2x?1sinx? (4)limtanx?x?0x3xxx1a?b?c (5)lim()x(a?0? b?0? c?0)? x?03 (6)lim(sinx)tanx?
x??22(x?1)2x?x?1??? 解 (1)因为lim2?0? 所以limx?1(x?1)2x?1x?x?1x(x2?1?x)(x2?1?x) (2)limx(x?1?x)?lim
2x???x???(x?1?x)2 ?limx???x1?lim?1? x2?1?xx???1?1?12x22x?1?12x?322x?1x?1 (3)lim()?lim(1?)?lim(1?)22 x??2x?1x??x??2x?12x?12x?11222 ?lim(1?)(1?)2
x??2x?12x?12x?11222 ?lim(1?)?lim(1?)2?e?
x??x??2x?12x?1sinx(1?1)sinx(1?cosx)sinx?limcosx?lim (4)limtanx?
x?0x?0x?0x3x3x3cosxsinx?2sin2x2x?(x)22?lim2?1 ?limx?0x?02x3cosxx3(提示? 用等价无穷小换)?
xxx1xxx?a?b?ca?b?c?3xxxxa?b?c?3lim()?lim(1?) (5)
x?0x?033xxxa?b?c?3)ax?bx?cx?3?e? lim(1?x?0333ax?bx?cx?33x?
因为
xxxxxxa?b?c?31a?1b?1c lim?lim(???1) x?03x3x?0xxx ?1[lnalim1?lnblim1?lnclim1]
t?0ln(1?t)u?0ln(1?u)v?0ln13(?v) ?1(lna?lnb?lnc)?ln3abc? 3xxx13a?b?c所以 lim()x?elnabc?3abc? x?03 提示? 求极限过程中作了变换ax?1?t? bx?1?u? cx?1?v?
(6)lim(sinx)x??2tanx?x??1?(sinx?1)tanxlim[1?(sinx?1)]sinx?1? 2因为
x??1silim[1?(sinx?1)]xn?12?e?
lim(sinx?1)tanx?limx??2sinx(sixn?1)
?coxsx?2sinx(sin2x?1)xcoxs?0? ??limsin ?limx?1x??cosx(sinx?1)x??sin22所以 lim(sixn)tanx?e0?1?
x??21??xsin x?0 9? 设f(x)??? 要使f(x)在(??? ??)内连续? 应怎样选择数a? x2?x?0?a?x 解 要使函数连续? 必须使函数在x?0处连续? 因为
f(0)?a? lim?f(x)?lim?(a?x2)?a? lim?f(x)?lim?xsin1?0?
x?0x?0x?0x?0x所以当a?0时? f(x)在x?0处连续? 因此选取a?0时? f(x)在(??? ??)内连续?
1??ex?1 x?0? 求f(x)的间断点? 并说明间断点所属类形? 10? 设f(x)????ln(1?x) ?1?x?0 解 因为函数f(x)在x?1处无定义? 所以x?1是函数的一个间断点?
因为lim?f(x)?lim?x?1x?11xe?1?0(提示
lim?1???)?
x?1x?1lim?1???)? x?1x?1 lim?f(x)?lim?x?1x?11ex?1??(提示
所以x?1是函数的第二类间断点?
又因为lim?f(x)?lim?ln(x?1)?0? lim?f(x)?lim?x?0x?0x?0x?01xe?1?1e?
所以x?0也是函数的间断点? 且为第一类间断点?
1?1? ? ? ? ?1 11? 证明lim?1? 222n??n?1n?2n?n1?1? ? ? ? ?1 证明 因为n??n? 且
n2?nn2?1n2?2n2?nn2?11?1? limn?lim1?1? limn?limn??n2?nn??n??n2?1n??1?121?1nn????所以lim?n??1?1? ? ? ? ?1?1?
222n?1n?2n?n? 12? 证明方程sin x?x?1?0在开区间(??, ?)内至少有一个根?
22证明 设f(x)?sin x?x?1? 则函数f(x)在[? ?,?]上连续?
22 因为f(? ?)??1???1???? f( ?)?1???1?2??? f(? ?)?f( ?)?0?
22222222所以由零点定理? 在区间(? ?,?)内至少存在一点?? 使f(?)?0?
22这说明方程sin x?x?1?0在开区间(? ?,?)内至少有一个根?
22 13? 如果存在直线L? y?kx?b? 使得当x??(或x???? x???)时? 曲线y?f(x)上的动点M(x? y)到直线L的距离d(M? L)?0? 则称L为曲线y?f(x)的渐近线? 当直线L的斜率k?0时? 称L为斜渐近线?
(1)证明? 直线L? y?kx?b为曲线y?f(x)的渐近线的充分必要条件是 k? x??(x???,x???)limf(x)lim? b? x??x[f(x)?kx]?
(x???,x???) (2)求曲线
1y?(2x?1)ex的斜渐近线?
证明 (1) 仅就x??的情况进行证明?
按渐近线的定义? y?kx?b是曲线y?f(x)的渐近线的充要条件是 lim[f(x)?(kx?b)]?0?
x?? 必要性? 设y?kx?b是曲线y?f(x)的渐近线? 则lim[f(x)?(kx?b)]?0?
x??于是有 limx[x??x??f(x)f(x)f(x)? ?k?b]?0?lim?k?0?k?limx??xx??xxxx??同时有 lim[f(x)?kx?b]?0?b?lim[f(x)?kx]? 充分性? 如果k?limx??x??f(x)? b?lim[f(x)?kx]? 则
x??xx??x?? lim[f(x)?(kx?b)]?lim[f(x)?kx?b]?lim[f(x)?kx]?b?b?b?0? 因此y?kx?b是曲线y?f(x)的渐近线? 1y2x?1 (2)因为k?lim?lim?ex?2? x??xx??x
1b?lim[y?2x]?lim[(2x?1)exx??x???2x]?2limx??1x(ex?1)?1?2limt?1?1? t?0ln1(?t)所以曲线习题2?1
1y?(2x?1)ex的斜渐近线为y?2x?1?
1? 设物体绕定轴旋转? 在时间间隔[0? t]内转过的角度为?? 从而转角?是t的函数? ???(t)? 如果旋转是匀速的? 那么称???为该物体旋转的角速度? 如果旋转
t是非匀速的? 应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？ 解 在时间间隔[t0? t0??t]内的平均角速度?为
?(t??t)??(t0) ?????0?
?t?t故t0时刻的角速度为
?(t??t)??(t0) ??lim??lim???lim0???(t0)?
?t?0?t?0?t?t?0?t 2? 当物体的温度高于周围介质的温度时? 物体就不断冷却? 若物体的温度T
与时间t的函数关系为T?T(t)? 应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？ 解 物体在时间间隔[t0? t0??t]内? 温度的改变量为 ?T?T(t??t)?T(t)?
平均冷却速度为
T(t??t)?T(t) ?T??
?t?t故物体在时刻t的冷却速度为
T(t??t)?T(t) lim?T?lim?T?(t)?
?t?0?t?t?0?t 3? 设某工厂生产x单位产品所花费的成本是f(x)元? 此函数f(x)称为成本函数? 成本函数f(x)的导数f?(x)在经济学中称为边际成本? 试说明边际成本f?(x)的实际意义?
解 f(x??x)?f(x)表示当产量由x改变到x??x时成本的改变量?
f(x??x)?f(x) 表示当产量由x改变到x??x时单位产量的成本?
?xf(x??x)?f(x) f?(x)?lim表示当产量为x时单位产量的成本?
?x?0?x 4? 设f(x)?10x2? 试按定义? 求f ?(?1)?
高等数学上册第六版课后习题答案 - 图文
