?1x3sinx?tanx所以 lim3?lim2??3?
x?0(1?x2?1)(1?sinx?1)x?012x?x3
5? 证明无穷小的等价关系具有下列性质? (1) ? ~? (自反性)?
(2) 若? ~?? 则?~?(对称性)? (3)若? ~?? ?~?? 则?~?(传递性)? 证明 (1)lim??1? 所以? ~? ?
? (2) 若? ~?? 则lim??1? 从而lim???1? 因此?~? ? ?? (3) 若? ~?? ?~?? lim?lim???lim??1? 因此?~?? ??习题1?8
1? 研究下列函数的连续性? 并画出函数的图形?
?x2 0?x?1 (1)f(x)???
2?x 1?x?2? 解 已知多项式函数是连续函数? 所以函数f(x)在[0? 1)和(1? 2]内是连续的? 在x?1处? 因为f(1)?1? 并且
lim?f(x)?lim?x2?1? lim?f(x)?lim?(2?x)?1?
x?1x?1x?1x?1所以limf(x)?1? 从而函数f(x)在x?1处是连续的?
x?1 综上所述，函数f(x)在[0? 2]上是连续函数?
?x ?1?x?1 (2)f(x)???
1 |x|?1? 解 只需考察函数在x??1和x?1处的连续性?
在x??1处? 因为f(?1)??1? 并且
lim?f(x)?lim?1?1?f(?1)?
x??1x??1 lim?f(x)?lim?x??1?f(?1)?
x??1x??1所以函数在x??1处间断? 但右连续? 在x?1处? 因为f(1)?1? 并且
lim?f(x)?lim?x?1?f(1)? lim?f(x)?lim?1?1?f(1)?
x?1x?1x?1x?1所以函数在x?1处连续?
综合上述讨论? 函数在(??? ?1)和(?1? ??)内连续? 在x??1处间断? 但右连续? 2? 下列函数在指出的点处间断? 说明这些间断点属于哪一类? 如果是可去间断点? 则补充或改变函数的定义使它连续?
2x (1)y?2?1? x?1? x?2? x?3x?22x?1?(x?1)(x?1)? 因为函数在x?2和x?1处无定义? 所以x?2和
解 y?2x?3x?2(x?2)(x?1)x?1是函数的间断点?
2x 因为limy?lim2?1??? 所以x?2是函数的第二类间断点?
x?2x?2x?3x?2 因为limy?limx?1(x?1)??2? 所以x?1是函数的第一类间断点? 并且是可去间断
x?1(x?2)点? 在x?1处? 令y??2? 则函数在x?1处成为连续的? (2)y?x? x?k? x?k??? (k?0? ?1? ?2? ? ? ?)?
tanx2 解 函数在点x?k?(k?Z)和x?k?? ?(k?Z)处无定义? 因而这些点都是函数的
2间断点?
因limx??(k?0)? 故x?k?(k?0)是第二类间断点?
x?k?tanx 因为limx?1? x?0tanxx?k???2limx?0(k?Z)? 所以x?0和x?k?? ?(k?Z) 是第一tanx2类间断点且是可去间断点?
令y|x?0?1? 则函数在x?0处成为连续的?
令x?k?? ?时? y?0? 则函数在x?k?? ?处成为连续的?
22 (3)y?cos21? x?0?
x 解 因为函数y?cos21在x?0处无定义? 所以x?0是函数y?cos21的间断点?
xx又因为limcos21不存在? 所以x?0是函数的第二类间断点?
x?0x?x?1 x?1 (4)y??? x ?1?
3 ?x x?1? 解 因为lim?f(x)?lim?(x?1)?0x?1x?1x?1?limf(x)?lim?(3?x)?2? 所以x?1是函数的
x?1第一类不可去间断点?
2n1?x 3? 讨论函数f(x)?limx的连续性? 若有间断点? 判别其类型? n??1?x2n|x|?1??x 2n?1?xx??0 |x|?1? 解 f(x)?limn??1?x2n?|x|?1?x 在分段点x??1处? 因为lim?f(x)?lim?(?x)?1? lim?f(x)?lim?x??1? 所以
x??1x??1x??1x??1x??1为函数的第一类不可去间断点?
在分段点x?1处? 因为lim?f(x)?lim?x?1? lim?f(x)?lim?(?x)??1? 所以x?1
x?1x?1x?1x?1为函数的第一类不可去间断点?
4? 证明? 若函数f(x)在点x0连续且f(x0)?0? 则存在x0的某一邻域U(x0)? 当x?U(x0)时? f(x)?0?
证明 不妨设f(x0)>0? 因为f(x)在x0连续? 所以limf(x)?f(x0)?0? 由极限的局
x?x0部保号性定理? 存在x0的某一去心邻域U(x0)? 使当x?U(x0)时f(x)>0? 从而当x?U(x0)时? f(x)>0? 这就是说? 则存在x0的某一邻域U(x0)? 当x?U(x0)时? f(x)?0? 5? 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子?
(1)x?0? ?1? ?2? ?1? ? ? ?? ?n? ?1? ? ? ?是f(x)的所有间断点? 且它们都是无穷间
2n断点?
? 解 函数f(x)?csc(?x)?csc在点x?0? ?1? ?2? ?1? ? ? ?? ?n? ?1? ? ? ?处是间断的
x2n
且这些点是函数的无穷间断点?
(2)f(x)在R上处处不连续? 但|f(x)|在R上处处连续?
????1 x?Q 解 函数f(x)??在R上处处不连续? 但|f(x)|?1在R上处处连续?
1 x?Q? (3)f(x)在R上处处有定义? 但仅在一点连续?
?x x?Q 解 函数f(x)??在R上处处有定义? 它只在x?0处连续?
?x x?Q?习题1?9
33x2?x?3的连续区间? 并求极限limf(x)? limf(x)及 1? 求函数f(x)?x?2x??3x?0x?x?6limf(x)?
x?232x?3x?x?3?(x?3)(x?1)(x?1)? 函数在(??? ??)内除点x?2和x??3
解 f(x)?(x?3)(x?2)x2?x?6外是连续的? 所以函数f(x)的连续区间为(??? ?3)、(?3? 2)、(2? ??)?
在函数的连续点x?0处? limf(x)?f(0)?1?
x?02 在函数的间断点x?2和x??3处? limf(x)?limx?2(x?3)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)8??? limf(x)?lim???
x?2x??3x??3(x?3)(x?2)x?25 2? 设函数f(x)与g(x)在点x0连续? 证明函数
?(x)?max{f(x)? g(x)}? ?(x)?min{f(x)? g(x)} 在点x0也连续?
证明 已知limf(x)?f(x0)? limg(x)?g(x0)?
x?x0x?x0 可以验证
?(x)?1[f(x)?g(x)?|f(x)?g(x)| ]?
2 ?(x)?1[f(x)?g(x)?|f(x)?g(x)| ]?
2因此 ?(x0)?1[f(x0)?g(x0)?|f(x0)?g(x0)| ]?
2 ?(x0)?1[f(x0)?g(x0)?|f(x0)?g(x0)| ]?
2 因为
lim?(x)?lim1[f(x)?g(x)?|f(x)?g(x)| ]
x?x0x?x02 ?1[limf(x)?limg(x)?|limf(x)?limg(x)| ]
x?x0x?x0x?x02x?x0 ?1[f(x0)?g(x0)?|f(x0)?g(x0)| ]??(x0)?
2所以?(x)在点x0也连续?
同理可证明?(x)在点x0也连续?
3? 求下列极限? (1)limx2?2x?5?
x?0 (2)lim(sin2x)3?
x??4 (3)limln(2cos2x)?
x??6 (4)limx?1?1?
x?0x (5)lim5x?4?x?
x?1x?1 (6)limsinx?sina?
x?ax?a (7)lim(x2?x?x2?x)?
x??? 解 (1)因为函数f(x)?x2?2x?5是初等函数? f(x)在点x?0有定义? 所以 limx2?2x?5?f(0)?02?2?0?5?5?
x?0 (2)因为函数f(x)?(sin 2x)3是初等函数? f(x)在点x??有定义? 所以
4nx)3?f(?)?(si2n??)3?1? lim(si244x??4 (3)因为函数f(x)?ln(2cos2x)是初等函数? f(x)在点x??有定义? 所以
6 limln2(co2sx)?f(?)?ln2(co2s??)?0?
66x??6
高等数学上册第六版课后习题答案 - 图文
