数学与计算科学学院
实 验 报 告
实验项目名称 Eular方法求解一阶常微分方程数值解 所属课程名称 偏微分方程数值解 实 验 类 型 验证性 实 验 日 期 2015-3-26
班 级 学 号
姓 名 成 绩
一、实验概述： 【实验目的】 熟练掌握应用显性Eular法和隐式Eular法求解一般一阶常微分方程的近似数值解。 【实验原理】 虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程。求解从实际问题当中归结出来的微分方程主要靠数值解法。欧拉方法是一类重要的数值解法。这类方法回避解y(x)的函数表达式，而是寻求它在一系列离散节点上的近似值，相邻的两个节点的间距称作步长。假定步长为定数。 欧拉方法是一类离散化方法，这类方法将寻求解y(x)的分析问题转化为计算离散值值的代数问题，从而使问题获得了实质性的简化。然而随之带来的困难是，由于数据量往往很大，差分方法所归结出的可能是个大规模的代数方程组。 【实验环境】 1.硬件环境 2.2.软件环境 MATLAB7.0 二、实验内容： 第 1 页 共 14 页
【实验过程】（实验步骤） (一)实验任务 描述某种化学反应过程的方程，利用显性和隐形Eualar方法求解下列一阶线性微分方程组的近似数值解： ?dy1??0.04y?104yy112?dt?dy472?2dt?0.04y1?10y1y2?3?10y2 ? ?dy372?3?10y2?dt?y(0)?1,y(0)?0,y(0)?023?1 (二)求解过程 Eular方法： 一阶线性微分方程初值问题 ?y'?f(x,y),a?x?b??y(a)?y0 a?x0?x1?....?xn?b （1） xn?x0?nh,h为步长方程离散化：差分和差商 y'(x0)?y1?y0y1?y0 ?x1?x0hy1?y0h y1?y0?hf(x0,y0) （2） f(x0,y0)?yn?1?yn?hf(x0,y0) 通过初始值y0，依据递推公式（2）逐步算出y1,y2,....,yn就为显性的Eular方法。 隐形Eular方法： ?y1?y0?hf(x1,y1) ? （3） y?y?hf(x,y)nn?1n?1?n?1 公式（3）即为隐式Eular公式。
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（三）程序算法 1. 利用显式Eular法方求解 利用MATLAB进行求解，编写脚本文件如下： 文件名：hql.m %显性Eular方法 f0=1; g0 =0;z0=0 delta=0.01; time=1; t=0:delta:time; f=zeros(size(t)); g=zeros(size(t)); z=zeros(size(t)); f1=zeros(size(t)); g1=zeros(size(t)); z1=zeros(size(t)); f(1)=f0; g(1)=g0; z(1)=z0; for i=2:length(t) f1(i-1) = -0.04*f(i-1) + 10000*f(i-1)*g(i-1); f(i)=f(i-1)+f1(i-1)*delta; g1(i-1) = 0.04*f(i-1) - 10000*f(i-1)*g(i-1)-3*10^7*g(i-1)^2; g(i)=g(i-1)+g1(i-1)*delta; z1(i-1)=3*10^7*g(i-1)^2; 第 3 页 共 14 页
z(i)=z(i-1)+z(i-1)*delta; Fun=f+g+z end figure plot(t,f,'o'); xlabel('t'); ylabel('y1'); title('t-y1变化图') figure plot(t,g,'o'); xlabel('t'); ylabel('y2'); title('t-y2变化图') figure plot(t,z,'o'); xlabel('t'); ylabel('y3'); title('t-y3变化图') figure plot(t,Fun); xlabel('t'); ylabel('y1+y2+y3'); title('t-y1+y2+y3变化图') 第 4 页 共 14 页
欧拉法解常微分方程概述
