2020年中国人民公安大学常微分方程考研复试核心题库之计算题精编
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一、2020年中国人民公安大学常微分方程考研复试核心题库之计算题精编
1． 解方程：
dy=y?sinx dx【答案】y=e?dx(?sinxe??dxdx?c) 1?xe(sinx?cosx)+c] 21=cex-(sinx?cosx)是原方程的解。
2=ex[-
2． 求下列方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态青岛掌?心博阅电子书
2?dx?9x?6y?4xy?5x?dt ?dy2??6x?6y?5xy?4y?dt2?9x?6y?4xy?5?0?x【答案】由?得奇点（0,0）,（1,2）,（2,1） 2??6x?6y?5xy?4y?0对于奇点（0,0）可知不稳定 对于奇点（1,2）可知不稳定 对于奇点（2,1）可知渐进稳定
3． 解方程：青岛掌к心博阅电?子书
dy=2xy，并满足初始条件：x=0，y=1的特解。 dxdy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x2+c 【答案】yy=ex+ec=cex22
另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y=cex2，x=0，y=1时c=1 特解为y=ex.
2
4． 解方程
【答案】齐次方程的通解为
令非齐次方程的特解为
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代入原方程，确定出原方程的通解为
+
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5． 解方程青岛掌?心博阅电子书
x????3ax???3a2x??a3x?0
【答案】特征方程?3?3a?2?3a2??a3?0 有三重根??a
故通解为x=c1e
6． 解方程
at?c2teat?c3t2eat
(x?2y)dx?xdy?0
【答案】方程化为
dyy?1?2 dxx令y?xu，则
dydu?u?x，代入上式，得 dxdxxdu?1?u dx分量变量，积分，通解为 u?Cx?1 原方程通解为
y?Cx2?x
7． 解方程
（2x+2y-1）dx+（x+y-2）dy=0
dy2(x?y)?1??【答案】，令z=x+y dx(x?y)?2dzdy?1? 则dxdxdz2z?1z?1?z?2?1??,dz?dx dxz?2?z?2z?13所以 –z+3ln|z+1|=x+C1， ln|z?1|=x+z+C1
即(x?y?1)?Ce32x?y
8． 求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。
【答案】设p(x,y)为所求曲线上的任一点，则在p点的切线l在y轴上的截距为：
y?xdy dx由题意得y?xdy?x dx第 4 页，共 33 页
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dy1?y?1 dxx也即?ydx?xdy??dx
?ydx?xdydx ??两边同除以x2，得2xxy即d()??dlnx
x即y?cx?xlnx
即
为方程的解。
9． 求方程
齐次方程的通解为因为
代入原方程，比较系数得
确定出原方程的通解为
10．讨论方程
【答案】两边积分
所以方程的通解为 故 过通过点
的解为
的解向左可以延拓到
，
，但向右只能延拓到2，
的解的存在区间青岛掌р心博阅电子书
，
的通解. 青岛掌ч心博阅┖电子书
，
【答案】方程的特征根为
不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
所以解的存在区间为
11．求下列方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态青岛掌?心博阅电子书
dx??y?x?dt ?dy223??y?x?(x?y)(y?2xy?2/3x)?dty?x?0??223【答案】由?得奇点（0,0）,（1,1）
y??(x?y)(?2xy?2/3)?0y?xx?第 5 页，共 33 页
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