答：设函数 y
f (x) 在 x
x0 及其一个邻域内有定义，且等式 lim f ( x)
x x0
f ( x0 ) 成
立，则称函数 y f (x) 在 x
x0 连续。 y f (x) 在（ a,b ）内连续是指函数 y f ( x) 在
（ a,b ）内的每个点处均连续。
2．间断点分成几类？
第一类间断点：在该点 的左右极限均存在
答：间断点
第二类间断点：左右极 限中至少有一个不存在
3．什么是单侧连续？
答：设函数 y
f (x) 在 x
x0 及其右邻域内有定义，且等式
lim f (x)
x x0
0
f ( x0 ) 成
立，则称函数 y f (x) 在 x x0
4．什么是连续函数？ 答：若函数 y
右连续。同理可定义左连续。
f (x) 在（ a,b ）内的每个点处均连续，且在左端点处右连续，右端
点处左连续，则称函数 y f (x) 在[a,b] 上连续。
5．简述复合函数的连续性定理。 答：设函数 y
z0
( x0 ) ，并设 y
x0 处连续。
f (z) 在点 z
z0 处连续，函数 z
(x) 在点 x x0 处连续，而
y f [ ( x)]
f [ (x)] 在点 x x0 的某一邻域内有定义，则复合函数
在点 x
四、论述题
极限思想的辩证意义是什么？
答：极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态，是一个无限逼近的过程，是一个客观上存在但又永远达不到的数。在解决实际问题时，“无限”的过程标志着可以得到精确的答案，他是为解决实际问题的需要而产生的，反过来又成为解决实际问题的有力工具。
五、计算题
（1）解： lim
n
4n
2
2 1
3n
2
lim
n
4 3
2 n2 1 n
4 3
2
x
（2）解： lim
2 lim 1
x 0
sin 2x x 0 sin 2x
2x
1
1 1
4 4
（3）解： lim ( n
n
n) lim
1
0
n
n 1n
（4）解： lim (1 1 ) x lim [(1 1 )
x x
x x 六、讨论 解： lim f ( x)
x 0
x 1
]e 11
e
lim (1 x) 1
x 0
lim f ( x)
x 0
lim f ( x) ，
x 0
函数在 x=0 处极限不存在。
高等数学（ B）（ 1）作业 2
导 数
一、名词解释 导数——设函数 y
若 lim
x 0
f (x) 在 x x) x
x0 及其邻域内有定义，
存在，则称此极限值为函数 y
y x
lim
x
0
f ( x0
f ( x0)
f (x) 在 x
x0 点处的
导数值。记为， f ( x0 )，y
，
dy
等。
x) x
x
y x
x0 dx x x0
f (x0
平均变化率——称
f ( x)0 为平均变化率。
瞬时变化率——称 lim
x 0
y
lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) x
为瞬时变化率。
x
导函数——对于区间（ a,b ）内的每一点 x 都有导数值，这样由这些导数值构成的
函数称为 y f ( x) 的导函数。
高阶导数——二阶及二阶以上的导数。 驻点——使得 f ( x) 极值——设函数 y
0 的点。
f (x) 在 x x0 及其邻域内有定义，且在 x x0 的邻域内
x0 为极大值点，称 f (x0 ) 为极大值。同理可定义极小
f (x) f (x0 ) 恒成立，则称 x
值。极大值与极小值统称为函数的极值。
二、填空题
1．导数的物理意义是瞬时速度。 3．导数的第三种解释是变化率。
2．导数的几何意义是曲线在一点处切线的些率。
4．导数是一种特殊的极限，因而它遵循极限运算的法则。 5．可导的函数是连续的，但是连续函数不一定可导。 三、回答题
1．什么是费马定理？ 答：设函数 y
f (x) 在 x
x0 的某邻域 u( x0 ) 内有定义，并且在 x0 处可导，如果对
f ( x0 ) ），那么 f ( x0 )
0 。
任意的 x u( x0 ) ，有 f ( x)
2．什么是罗尔定理？ 答：设函数 y
f ( x0 ) （或 f ( x)
f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间（ a,b ）内可导，并且满足
f (a)
f (b) ，那么至少存在一点
(a， b) ，使得 f (
) 0 。
3．什么是拉格朗日定理？它的辅助函数是怎样构成的 ?
答：设函数 y
在一点
f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 （ a,b ）内可导，那么至少存
f (a)
f ( )(b
a) 。
(a， b) ，使得 f (b)
( x) f (x)
辅助函数为：
f (b) f ( a) ( x a) 。
b a
4．函数的性质有哪些？
答：函数的性质有：有界性，奇偶性，周期性，单调性。
5．导数的绝对值大小告诉我们什么？它反映在函数曲线上情况又怎样？
答：导数绝对值大小反映曲线的陡峭程度，导数的绝对值越大，则曲线越陡峭，否
则，曲线越平缓。
6．什么是极大值（或极小值） ? 答：设函数 y
f (x) 在 x x0 及其邻域内有定义，且在 x x0 的邻域内 x0 为极大值点，称 f (x0 ) 为极大值。
f (x) f (x0 ) 恒成立，则称 x
设函数 y 成立，则称 x
f ( x) 在 x x0 及其邻域内有定义，且在 x x0 的邻域内 f ( x) x0 为极小值点，称 f (x0 ) 为极小值。
f ( x0 ) 恒
7．请举例说明费马定理只给出了极值的必要条件而不是充分条件。
答：例如：直线 y=c(c 为常数 ) ，在任意一点都满足费马定理的条件，且导数值都
是 0，但是在任意一点处都不是极值点。
8．最大值与极大值是一回事吗？
答：不是一回事。 连续函数在某个闭区间上可能有多个极大值和极小值， 但是最大 值和最小值却各有一个。
9．求最大值或最小值通常要经过哪几个步骤？
答：（ 1）找出驻点和那些连续但不可导的点来，并计算出这些点的函数值；（ 2）计算出比区间端点处的函数值；
（3）将以上个函数值进行比较，可得到最大值与最小值。
（4）如果是应用问题，则需先分析题意，设变量，列出函数关系，在求出唯一驻点，它就是答案。
四、计算题 1．解： lim
x 0
y x 4x 3
lim f (3
x 0
x) f (3) x
lim
x 0
(3
x)2 x
32 lim (6x) 6
x 0
2．解： y
4 x2
1 。 2 x
3．解： y 4．解： y
2x sin x x2 cos x
1 x ln n
5．解： y
cos(cos x3 )( sin x3 )3x2 3x2 cos(cos x 3 ) sin x3
6．解：
y
1 cos x
sin )
x
tan x
7．解：当 x
0 ， y (ln x)
1
x
当 x 0 ， y [ln( x)]
8．解： y
e
x
( 2) x
3
ln( ) 2 x3
2 1 3
1 1 x x
上所述， (ln x )
1 x
3
9．解： y
2x
1 x2
10．
解： y
? ?
cos x sin(1
2
x)
五、 用 1．解： V
4 R3， R t， V 3 4 t 3 3
V
4 3t 2 4 t 2 ， 当 R 3
答：体 V 增加的速率 400
10 ， t
10 ， V
400 ，
cm/s.
2. 解： 一 x, 另一 1-x, 矩形面 S=x(1-x)=
x x 2 , S 1 2x , 令 S
0 ，解得 x
1 。 2
答：从中 截断，可得到最大矩形的面 。 2．解： x 米，
512
米， 度 L
2x
512 。 x
x
L 2
512 x2
2x 2 512 ，令 L 0 ，
x2
即 2x2 舍掉 x 答：当
512 0 ，解得 x 16
x
16 ，
512/x
16 米， 32 米 ，才能使材料最省。
微
分（ P17）
一、名 解
微分—— 函数 y f (x)在点 x处可导，则称 f ( x) x为函数 y f ( x)在点 x 的微分， 作 dy，
即 dy f ( x) x
高等数学B答案含综合练习.docx
