2 .设 a, b, c 为实数，且 | a | +a=0 ,| ab | =ab , | c | -c=0，求代数式 | b | - | a+ b | -| c-b | + | a-c | 的值.
3 .若 m v 0, n > 0 ,| m |v| n |,且| x+ m | + | x-n | =m + n, 求 x 的取值范围. 4 .设(3x-1)7=a7x7 + a6x6+…+a1x 1 + a0，试求 a0+a2 + a4 + a6 的值. 6 .解方程 2 | x+1 | + | x-3 | =6. 8 ?解不等式丨丨x + 3 | - | x-1 ||> 2.
10 . x, y, z 均是非负实数，且满足： x+ 3y + 2z=3 , 3x + 3y+z=4 , 求 u=3x-2y + 4z 的 最大值与最小值.
11 .求x4-2x3 + x2+2x-1除以x2+x + 1的商式和余式.
13 .如图1 — 89所示.AOB是一条直线，OC, OE分别是/ AOD和/ DOB的平分线，/ COD=55 .求/ DOE的补角.
14 .如图 1 — 90 所示.BE 平分/ ABC , / CBF= / CFB=55 , / EDF=7C° .求证：BCll AE 15 .女口图 1 — 91 所示.在△ABC 中，EF 丄AB , CD 丄AB , / CDG= / BEF .求证：/ AGD= / ACB .
17 .如图1 — 93所示.在△ABC中，E为AC的中点，D在BC上，且BD : DC=1 : 2, AD与BE交于F.求△BDF与四边形FDCE的面积之比.
18 .如图1 — 94所示.四边形ABCD两组对边延长相交于 K及L,对角线ACll KL, BD延 长线交KL于F.求证：KF=FL .
19 ．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为 999 说明理由．
20．设有一张 8 行、8 列的方格纸，随便把其中 32 个方格涂上黑色，剩下的 32 个方格涂 上白色．下面对涂了色的方格纸施行 “操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格 同时改变颜色．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸
23 ．房间里凳子和椅子若干个，每个凳子有 3 条腿，每把椅子有 4 条腿，当它们全被人坐 上后，共有 43 条腿(包括每个人的两条腿 )，问房间里有几个人 24．求不定方程 49x-56y+14z=35 的整数解． 25 ．男、女各 8 人跳集体舞． (1) 如果男女分站两列；
(2) 如果男女分站两列，不考虑先后次序，只考虑男女如何结成舞伴． 情况
问各有多少种不同
26．由 1， 2， 3， 4， 5 这 5 个数字组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于 34152 27 .甲火车长92米，乙火车长84米，若相向而行，相遇后经过1.5秒(s)两车错过，若同 向而行相遇后经 6秒两车错过，求甲乙两火车的速度．
28．甲乙两生产小队共同种菜，种了 4天后，由甲队单独完成剩下的，又用 2天完成．若 甲单独完成比乙单独完成全部任务快 3天．求甲乙单独完成各用多少天
29．一船向相距 240 海里的某港出发， 到达目的地前 48 海里处，速度每小时减少 10海里，
到达后所用的全部时间与原速度每小时减少 4海里航行全程所用的时间相等，求原来的速 度．16
30 ．某工厂甲乙两个车间，去年计划完成税利 750 万元，结果甲车间超额 15％完成计划， 乙车间超额 10％完成计划， 两车间共同完成税利 845 万元，求去年这两个车间分别完成税 利多少万元
31．已知甲乙两种商品的原价之和为 150 元．因市场变化，甲商品降价 10 ％，乙商品提价 20 ％，调价后甲乙两种商品的单价之和比原单价之和降低了 1％，求甲乙两种商品原单价 各是多少
32．小红去年暑假在商店买了 2 把儿童牙刷和 3 支牙膏，正好把带去的钱用完．已知每支 牙膏比每把牙刷多 1 元，今年暑假她又带同样的钱去该商店买同样的牙刷和牙膏，因为今 年的牙刷每把涨到 1.68 元，牙膏每支涨价 30％，小红只好买 2 把牙刷和 2 支牙膏，结果 找回 4 角钱．试问去年暑假每把牙刷多少钱每支牙膏多少钱
33．某商场如果将进货单价为 8元的商品，按每件 12元卖出，每天可售出 400 件，据经 验，若每件少卖 1元，则每天可多卖出 200 件，问每件应减价多少元才可获得最好的效益 34 ?从A镇到B镇的距离是28千米，今有甲骑自行车用0 ? 4千米/分钟的速度，从A镇 出发驶向 B 镇， 25 分钟以后，乙骑自行车，用 0．6 千米/分钟的速度追甲，试问多少分钟 后追上甲
35．现有三种合金：第一种含铜 60％，含锰 40％；第二种含锰 10％，含镍 90％；第三种 含铜 20％，含锰 50％，含镍 30％．现各取适当重量的这三种合金，组成一块含镍 45％的 新合金，重量为 1 千克．
(1) 试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量； (2) 求新合金中含第二种合金的重量范围； (3) 求新合金中含锰的重量范围．
I =-a，所以a<0,又因为| ab | =ab，所以b<0,因为| c | =c,所以c>0所以a + b<0, c-b>0, a-c 原式=-b + (a + b)-(c-b)-(a-c)=b . 3.因为 m v0, n>0，所以 | m | =-m，| n | =n .所以 | m |v| n | 可变为 m + n >0.当 x+m>0 时，| x+m | =x + m；当 x-nO 时，| x-n | =n-x.故当-m 11.所以商式为x2-3x+3，余式为2x-4 12．小柱的路线是由三条线段组成的折线 (如图 1－97所示)． 我们用“对称”的办法将小柱的这条折线的路线转化成两点之间的一段 “连线”它（是线 段 ）．设 甲村关于北山坡（将山坡看成一条直线）的对称点是甲’；乙村关于南山坡的对称点是乙；连 接甲乙；设甲乙所连得的线段分别与北山坡和南山坡的交点是 A, B，则从甲-LB-乙 的路线的选择是最好的选择 （即路线最短） 显然，路线甲 -A-B- 乙的长度恰好等于线段甲 ；乙；的长度．而从甲村到乙村的其他任何路 线，利用上面的对称方法，都可以化成一条连接甲 ；与乙；之间的折线．它们的长度都大于线 段甲 ；乙；．所以，从甲 -A-B- 乙的路程最短． 13 .如图1 — 98所示.因为OC, OE分别是/ AOD，/ DOB的角平分线，又 / AOD+ / DOB= / AOB=180 , 所以 / COE=90 . 因为 / COD=5° , 所以/ DOE=90 -55 °=35° . 因此，/ DOE的补角为180°-35 ° 145° . 14 .如图1 — 99所示.因为BE平分/ ABC，所以 / CBF= / ABF， 又因为 / CBF= / CFB， 所以 / ABF= / CFB . 从而AB|| CD（内错角相等，两直线平行）. 由/ CBF=55 及 BE 平分/ ABC，所以 / ABC=2< 55° =110° . 由上证知 AB|| CD,所以 / EDF= / A=70°， ② 由①，②知BCII AE（同侧内角互补，两直线平行）. 15 .如图 1-100 所示.EF 丄 AB, CD 丄AB，所以 / EFB= / CDB=90 , 所以EFI CD（同位角相等，两直线平行）.所以/ BEF= / BCD（两直线平行，同位角相等）. ①又由已知 / CDG= / BEF . ②由①，② / BCD= / CDG . 所以BCII DG（内错角相等，两直线平行）. 所以/ AGD= / ACB（两直线平行，同位角相等）. 16 .在 ABCD 中， / DBC + Z C=90 （因为/ BDC=90 ），① 又在△ABC 中，/ B= / C,所以 ① / A+Z B +Z C= / A + 2 / C=180 , 所以由①，② 17 .如图1 —101，设DC的中点为G,连接GE .在△ADC中，G, E分别是CD , CA的 中点.所以，GE|| AD,即在ABEG中，DF| GE.从而F是BE中点.连结FG .所以 又 S AEFD = S ABFG-SEFDG=4S ABFD-SEFDG , 所以 SAEFGD=3S ABFD . 设S△BFD=x，则SEFDG=3x .又在ABCE中，G是BC边上的三等分点，所以 S ACEG=S ABCEE , 从而 所以 SEFDC=3x + 2x = 5x , 所以 SABFD : SEFDC=1 : 5. 18 ．如图 1 － 102 所示． 由已知ACll KL,所以SMCK=S △ACL，所以 即 KF=FL . + b1=9, a+a1=9，于是 a+b+c + al + b1+c仁9 + 9+9，即 2(a 十 b+ c)=27 , 矛盾！ 20 .答案是否定的.设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格，其中OW kW8当 改变方格的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个白色方格.因此，操作一次后，黑色方格 的数目 “增加了 ”(-8k)-k=8-2k 个，即增加了一个偶数.于是无论如何操作，方格纸上黑色方 格数目的奇偶性不变.所以，从原有的 32 个黑色方格(偶数个)，经过操作，最后总是偶数 个黑色方格，不会得到恰有一个黑色方格的方格纸. 21 .大于3的质数p只能具有6k + 1，6k + 5的形式.若p=6k + 1(k > 1,)则p+2=3(2k + 1)不是质数，所以，p=6k + 5(k >0.)于是，p+仁6k + 6，所以，6 | (p + 1). 22 .由题设条件知n=75k=3X52Xk.欲使n尽可能地小，可设 n=2a 3B 5丫(B可》2)且 有(a +1)( B +1)+Y)=75 . 于是a+ 1， B +1, Y+ 1都是奇数，a, B 丫均为偶数.故取丫 =2这时(a +1)( B +1)=25 所以 故(a B )=(0 24)，或(a, B )=(4 4)，即 n=20?324?52 23 .设凳子有x只，椅子有y只，由题意得 3x + 4y+2(x+y) = 43, 即 5x+6y = 43 . 所以 x=5， y=3 是唯一的非负整数解.从而房间里有 8 个人. 24 ．原方程可化为 7x-8y+2z = 5. 令 7x-8y=t， t+ 2z=5 ．易见 x=7t， y=6t 是 7x-8y=t 的一组整数解．所以它的全部整数解是 而 t=1 ， z=2 是 t+ 2z=5 的一组整数解．它的全部整数解是 把 t 的表达式代到 x， y 的表达式中，得到原方程的全部整数解是 25 . (1)第一个位置有8种选择方法，第二个位置只有7种选择方法，…，由乘法原理，男、 女各有 8X7X6X5X4X3X2X1 = 40320 种不同排列．又两列间有一相对位置关系，所以共有 (2)逐个考虑结对问题． 与男甲结对有 8 种可能情况，与男乙结对有 7种不同情况， … ，且两列可对换，所以共有 2X8X7X6X5X4X3X2X1=80640 种不同情况． 26 .万位是5的有4X3X2X1=24(个). 万位是4的有4X3X2X1=24(个). 万位是3,千位只能是5或4，千位是5的有3X2X1=6个，千位是4的有如下4个： 2X403202 种不同情况． 34215， 34251 ， 34512， 34521 ． 所以，总共有 24+24 + 6+4 = 58 个数大于 34152 ． 27．两车错过所走过的距离为两车长之总和，即 92＋84=176（ 米）． 设甲火车速度为x米/秒，乙火车速度为y米/秒?两车相向而行时的速度为x+y ;两车同向 而行时的速度为x-y，依题意有 解之得 解之得x=9（天），x + 3=12（天）. 解之得x=16（海里/小时）. 经检验， x=16 海里/小时为所求之原速． 30 .设甲乙两车间去年计划完成税利分别为 x万元和y万元.依题意得 解之得 故甲车间超额完成税利 乙车间超额完成税利 所以甲共完成税利 400+60=460（ 万元），乙共完成税利 350+35=385（ 万元）． 31 .设甲乙两种商品的原单价分别为 x元和y元，依题意可得 由②有 0.9x+1.2y=148.5 ， ③ 由①得x=150-y，代入③有 0. 9（150-y） + 1.2y = 148. 5， 解之得y=45（元），因而，x=105（元）. 32 ．设去年每把牙刷 x 元，依题意得 2X1.68＋2（x+1）（1+30 ％）=[2x＋3（x+1）]-0.4 ， 即 2X1.68 + 2X1.3+2 Xl.3x = 5x + 2.6， 即 2.4x=2 X1 .68 ， 所以x=1.4（元）. 若y为去年每支牙膏价格，则 y=1.4 + 1=2.4（元）. 33 .原来可获利润4X400=1600元.设每件减价x元，则每件仍可获利（4-x）元，其中0vx V4.由于减价后，每天可卖出（400+200x）件，若设每天获利y元，则 y = (4-x)(400+200x) =200(4-x)(2+x)
初一奥数题集带答案
