新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定课后课时精

新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定课后课时精练新人教

B版必修第一册

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．命题“?x∈[0，＋∞)，x＋x≥0”的否定是( ) A．?x∈(－∞，0)，x＋x<0 B．?x∈(－∞，0)，x＋x≥0 C．?x∈[0，＋∞)，x＋x<0 D．?x∈[0，＋∞)，x＋x≥0 答案 C

解析 由全称量词命题的否定是存在量词命题可知A，B错误；因为对x＋x≥0的否定为x＋x<0，所以D错误，C正确．

2．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是( ) A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等边三角形 C．所有三角形都不是等腰三角形 D．所有三角形都是等腰三角形 答案 C

解析 存在量词命题的否定为全称量词命题，注意否定结论．故选C. 3．命题“?m∈R，使方程x＋mx＋1＝0有实数根”的否定是( ) A．?m∈R，使方程x＋mx＋1＝0无实数根 B．不存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0无实数根 C．?m∈R，方程x＋mx＋1＝0无实数根

D．至多有一个实数m，使方程x＋mx＋1＝0有实数根 答案 C

解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“?”改为“?”；另一方面要否定结论即“有实数根”改为“无实数根”．故选C.

4．命题“?x∈R，?n∈N，n≥x”的否定形式是( ) A．?x∈R，?n∈N，n

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C．?x∈R，?n∈N，n

解析 根据含有量词的命题的否定的概念可知选D.

5．已知命题p：?x∈R，函数y＝x＋x＋a的值小于0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )

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?1?A.?，＋∞? ?4??1?B.?，＋∞? ?4?

?1?C．(－∞，0)∪?，＋∞?

?4??1?D．(－∞，0]∪?，＋∞? ?4?

答案 A

解析 ∵p是假命题，∴命题p的否定，即“?x∈R，函数y＝x＋x＋a的值大于或等1

于0”是真命题．∴Δ＝1－4a≤0，∴a≥.

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二、填空题

6．命题p：?x∈R，x＋3x＋2<0，则命题p的否定为________． 答案 ?x∈R，x＋3x＋2≥0

解析 命题p是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“?

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x∈R，x2＋3x＋2≥0”．

7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________． 答案 任意一个三角形都有外接圆

解析 该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“任意一个三角形都有外接圆”．

8．若命题“?x∈R,2x＋3x＋a＝0”是假命题，则实数a的取值范围是________．

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?9?答案 ?，＋∞? ?8?

解析 因为命题“?x∈R,2x＋3x＋a＝0”是假命题，所以其否定“?x∈R,2x＋3x＋

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a≠0”是真命题，即方程2x2＋3x＋a＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>.故实

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?9?数a的取值范围是?，＋∞?. ?8?

三、解答题

9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假： (1)关于x的方程ax＝b都有实数根； (2)有些正整数没有1和它本身以外的约数； (3)对任意实数x1，x2，若x11，x－2x－3＝0.

解 (1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如0x＝1，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．

(2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题的否定为假命题．

(3)这个命题的否定为“存在实数x1，x2，满足x1

(4)这个命题的否定为“?x>1，x－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x－2x－3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．

10．已知命题“?x∈R，ax＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围． 解 题中的命题为全称量词命题，因为其为假命题，所以其否定“?x∈R，ax＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax＋2x＋1＝0有实数根．

?a≠0，?

所以a＝0或?

??4－4a≥0，

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即a＝0或a≤1且a≠0，

所以a≤1.

所以实数a的取值范围是(－∞，1]．

B级：“四能”提升训练

1．a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x＋x＋b＝0，x＋ax＋

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c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．

证明 要证明结论的否定为两个方程都没有两个不相等的实数根，则有：

Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a2－4c≤0.

所以Δ1＋Δ2＝1－4b＋a－4c≤0. 因为a＝b＋c＋1，所以b＋c＝a－1. 所以1－4(a－1)＋a≤0，即a－4a＋5≤0. 但是a－4a＋5＝(a－2)＋1>0，故矛盾．

所以要证明结论的否定是假命题，则要证明的结论为真命题，即两个一元二次方程x＋x＋b＝0，x＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．

2．已知命题p：?x∈R，函数y＝－x－2x＋m的值不小于0，命题q：?x∈R，x＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．

解 因为命题p为假命题，所以命题p的否定为真命题，即命题“?x∈R，函数y＝－

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x2－2x＋m的值小于0”为真命题．

则y＝－x－2x＋m<0对任意x∈R恒成立． 所以Δ＝4＋4m<0，所以m<－1.

若命题q：?x∈R，x＋2x－m－1＝0为真命题， 则方程x＋2x－m－1＝0有实根， 所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2. 所以m<－1且m≥－2，

所以m的取值范围为－2≤m<－1.

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