2020年高考数学专项练习题及答案(1)
题型一 利用归纳推理求解相关问题
例1 如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时表现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴…，则第2 014个图形用的火柴根数为________. 破题切入点 观察图形的规律，写成代数式归纳可得. 答案 3 021×2 015
解析 由题意，第1个图形需要火柴的根数为3×1; 第2个图形需要火柴的根数为3×(1+2); 第3个图形需要火柴的根数为3×(1+2+3); ……
由此，能够推出，第n个图形需要火柴的根数为3×(1+2+3+…+n). 所以第2 014个图形所需火柴的根数为3×(1+2+3+…+2 014) =3×=3 021×2 015.
题型二 利用类比推理求解相关问题
例2 如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2=a2+b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面中的结论有________.
破题切入点 由平面图形中各元素到空间几何体中各元素的类比. 答案 S2=S+S+S
解析 建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时，注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质，平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质.所以三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2=S+S+S.
总结提升 (1)归纳推理的三个特点
①归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围;
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需要经过逻辑推理和实践检验，所以归纳推理不能作为数学证明的工具; ③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，能够作为进一步研究的起点，协助发现问题和提出问题. (2)类比推理的一般步骤
①定类，即找出两类对象之间能够确切表述的相似特征;
②推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想;
③检验，即检验猜想的准确性，要将类比推理使用于简单推理之中，在持续的推理中提升自己的观察、归纳、类比水平.
1.已知x>0，观察不等式x+≥2=2，x+=++≥3=3，…，由此可得一般结论：x+≥n+1(n∈N*)，则a的值为________. 答案 nn
解析 根据已知，续写一个不等式： x+=+++≥4=4，由此可得a=nn.
2.在平面内点O是直线AB外一点，点C在直线AB上，若=λ+μ，则λ+μ=1;类似地，如果点O是空间内任一点，点A，B，C，D中任意三点均不共线，并且这四点在同一平面内，若=x+y+z，则x+y+z=________. 答案 -1
解析 在平面内，由三角形法则，得=-，=-. 因为A，B，C三点共线， 所以存有实数t，使=t， 即-=t(-)， 所以=-+(+1). 因为=λ+μ， 所以λ=-，μ=+1， 所以λ+μ=1.
类似地，在空间内可得=λ+μ+η，λ+μ+η=1. 因为=-，所以x+y+z=-1.
3.观察下列各式：55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125，…，则52 014的末四位数字为________. 答案 5625
解析 由观察易知55的末四位数字为3125,56的末四位数字为5625,57的末四位数字为8125,58的末四位数字为0625,59的末四位数字为3125，故周期T=4.又因为2 014=503×4+2，所以52 014的末四位数字是5625.
2020年高考数学专项练习题及答案(1)
