函数奇偶性综合练习
一、选择题
1.已知函数f(x)=ax+bx+c(a≠0)是偶函数,那么g(x)=ax+bx+cx( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 2.已知函数f(x)=ax+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则( ) A.a?22
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1,b=0 B.a=-1,b=0 C.a=1,b=0 D.a=3,b=0 32
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x-2x,则f(x)在R上的表达式是( ) A.y=x(x-2) B.y =x(|x|-1) C.y =|x|(x-2) D.y=x(|x|-2) 4.已知f(x)=x+ax+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)等于( ) A.-26 B.-18 C.-10 D.10 5.函数f(x)?5
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1?x21?x2?x?1是(
?x?1 )
A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 6.若?(x),g(x)都是奇函数,f(x)?a??bg(x)?2在(0,+∞)上有最大值5, 则f(x)在(-∞,0)上有( )
A.最小值-5 B.最大值-5 C.最小值-1 D.最大值-3 二、填空题 7.函数f(x)?x?2?21?x2
2的奇偶性为________(填奇函数或偶函数) .
8.若y=(m-1)x+2mx+3是偶函数,则m=_________. 9.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若f(x)?g(x)?1x?1,则f(x)的解析式为_______.
10.已知函数f(x)为偶函数,且其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和为________. 三、解答题
11.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围.
12.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)(x?R,y?R),且f(0)≠0, 试证f(x)是偶函数.
13.已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x+2x—1,求f(x)在R上的表达式.
14.f(x)是定义在(-∞,-5]?[5,+∞)上的奇函数,且f(x)在[5,+∞)上单调递减,试判断f(x)在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明.
15.设函数y=f(x)(x?R且x≠0)对任意非零实数x1、x2满足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), 求证f(x)是偶函数.
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函数的奇偶性练习参考答案
1. 解析:f(x)=ax+bx+c为偶函数,?(x)?x为奇函数,
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∴g(x)=ax+bx+cx=f(x)·?(x)满足奇函数的条件. 答案:A
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2.解析:由f(x)=ax+bx+3a+b为偶函数,得b=0. 又定义域为[a-1,2a],∴a-1=2a,∴a?2
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1.故选A. 33.解析:由x≥0时,f(x)=x-2x,f(x)为奇函数,
∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x+2x)=-x-2x=x(-x-2). ∴f(x)?? 答案:D
4.解析:f(x)+8=x+ax+bx为奇函数,
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?x(x?2)?x(?x?2)(x?0),(x?0),即f(x)=x(|x|-2)
f(-2)+8=18,∴f(2)+8=-18,∴f(2)=-26. 答案:A
5.解析:此题直接证明较烦,可用等价形式f(-x)+f(x)=0. 答案:B 6.解析:?(x)、g(x)为奇函数,∴f(x)?2?a?(x)?bg(x)为奇函数. 又f(x)在(0,+∞)上有最大值5, ∴f(x)-2有最大值3.
∴f(x)-2在(-∞,0)上有最小值-3, ∴f(x)在(-∞,0)上有最小值-1. 答案:C 7.答案:奇函数
8.答案:0解析:因为函数y=(m-1)x+2mx+3为偶函数,
∴f(-x)=f(x),即(m-1)(-x)+2m(-x)+3=(m—1)x+2mx+3,整理,得m=0. 9.解析:由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, 可得f(x)?g(x)?2
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111111,联立f(x)?g(x)?,∴f(x)?(. ?)?2?x?1x?12x?1?x?1x?1 10.答案:0 11.答案:m? 答案:f(x)?1x2?11 212.证明:令x=y=0,有f(0)+f(0)=2f(0)·f(0),又f(0)≠0,∴可证f(0)=1.令x=0, ∴f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)?f(-y)=f(y),故f(x)为偶函数. 13.解析:本题主要是培养学生理解概念的能力.
f(x)=x+2x-1.因f(x)为奇函数,∴f(0)=0.
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)+2(-x)-1=-x+2x-1, ∴f(x)=x-2x+1.
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?x3? 因此,f(x)??0?x3??2x2?1?2x2?1(x?0),(x?0), (x?0). 点评:本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力. 14.解析:任取x1<x2≤-5,则-x1>-x2≥-5.
因f(x)在[5,+∞]上单调递减,所以f(-x1)<f(-x2)?f(x1)<-f(x2)?f(x1)>
f(x2),即单调减函数.
点评:此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性,并及时转化. 15.解析:由x1,x2?R且不为0的任意性,令x1=x2=1代入可证, f(1)=2f(1),∴f(1)=0. 又令x1=x2=-1,
∴f[-1×(-1)]=2f(1)=0, ∴(-1)=0.又令x1=-1,x2=x,
∴f(-x)=f(-1)+f(x)=0+f(x)=f(x),即f(x)为偶函数.
点评:抽象函数要注意变量的赋值,特别要注意一些特殊值,如,x1=x2=1,x1=x2=-1或x1=x2
=0等,然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可.
高一数学必修一函数奇偶性综合练习(含答案)
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