函数奇偶性综合练习
一、选择题
1．已知函数f（x）＝ax＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax＋bx＋cx（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 2．已知函数f（x）＝ax＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（ ） A．a?22
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1，b＝0 B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝3，b＝0 32
3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x－2x，则f（x）在R上的表达式是（ ） A．y＝x（x－2） B．y ＝x（｜x｜－1） C．y ＝｜x｜（x－2） D．y＝x（｜x｜－2） 4．已知f（x）＝x＋ax＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（ ） A．－26 B．－18 C．－10 D．10 5．函数f(x)?5
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1?x21?x2?x?1是（
?x?1 ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 6．若?(x)，g（x）都是奇函数，f(x)?a??bg(x)?2在（0，＋∞）上有最大值5， 则f（x）在（－∞，0）上有（ ）
A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3 二、填空题 7．函数f(x)?x?2?21?x2
2的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．
8．若y＝（m－1）x＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________． 9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若f(x)?g(x)?1x?1，则f（x）的解析式为_______．
10．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为________． 三、解答题
11．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．
12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（x?R，y?R），且f（0）≠0， 试证f（x）是偶函数．
13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x＋2x—1，求f（x）在R上的表达式．
14.f（x）是定义在（－∞，－5］?［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．
15.设函数y＝f（x）（x?R且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）， 求证f（x）是偶函数．
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函数的奇偶性练习参考答案
1． 解析：f（x）＝ax＋bx＋c为偶函数，?(x)?x为奇函数，
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∴g（x）＝ax＋bx＋cx＝f（x）·?(x)满足奇函数的条件． 答案：A
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2．解析：由f（x）＝ax＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0． 又定义域为［a－1，2a］，∴a－1＝2a，∴a?2
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1．故选A． 33．解析：由x≥0时，f（x）＝x－2x，f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x＋2x）＝－x－2x＝x（－x－2）． ∴f(x)?? 答案：D
4．解析：f（x）＋8＝x＋ax＋bx为奇函数，
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?x(x?2)?x(?x?2)(x?0),(x?0),即f（x）＝x（|x|－2）
f（－2）＋8＝18，∴f（2）＋8＝－18，∴f（2）＝－26． 答案：A
5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f（－x）＋f（x）＝0． 答案：B 6．解析：?(x)、g（x）为奇函数，∴f(x)?2?a?(x)?bg(x)为奇函数． 又f（x）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f（x）－2有最大值3．
∴f（x）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f（x）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C 7．答案：奇函数
8．答案：0解析：因为函数y＝（m－1）x＋2mx＋3为偶函数，
∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）＋2m（－x）＋3＝（m—1）x＋2mx＋3，整理，得m＝0． 9．解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数， 可得f(x)?g(x)?2
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111111，联立f(x)?g(x)?，∴f(x)?(． ?)?2?x?1x?12x?1?x?1x?1 10．答案：0 11．答案：m? 答案：f(x)?1x2?11 212．证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0， ∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）?f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数． 13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．
f（x）＝x＋2x－1．因f（x）为奇函数，∴f（0）＝0．
当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）＋2（－x）－1＝－x＋2x－1， ∴f（x）＝x－2x＋1．
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?x3? 因此，f(x)??0?x3??2x2?1?2x2?1(x?0),(x?0), (x?0). 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力． 14．解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．
因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）?f（x1）＜－f（x2）?f（x1）＞
f（x2），即单调减函数．
点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化． 15．解析：由x1，x2?R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证， f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0． 又令x1＝x2＝－1，
∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0， ∴（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，
∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．
点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2
＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．
高一数学必修一函数奇偶性综合练习（含答案）
