二、填空题 <共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分） 6．若关于 x 的方程 ( x
2
2)(x 4x m) 0 有三个根，且这三个根恰好可
m 的取值范围是.
以作为一个三角形的三条边的长，则
7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是
4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是
1，2，2，3，3，
1， 3， 4， 5， 6， 8.
同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率
是.
NW2GT2oy01
8．如图，点 A， B 为直线 y
线交双曲线 y
x 上的两点，过 A，B 两点分别作 y 轴的平行
1
x
< x＞0 ）于 C，D 两点 . 若 BD
2AC ，则 4OC
2
OD 的值
2
为.
NW2GT2oy01
<第 8题）
9 ． 若
<第 10 题）
y
1 x
x 1 的最大值为
a，最小值为 b，则 a2
b2 的值为
.
10．如图，在
Rt△ ABC 中，斜边 AB 的长为 35，正方形 CDEF 内接于△
ABC，且其边长为 12，则△ ABC 的周长为
.
NW2GT2oy01
三、解答题 <共 4 题，每题 20 分，共 80 分）
11．已知关于
x 的一元二次方程
x2
cx a
0 的两个整数根恰好比方程
x2
ax b
0 的两个根都大 1，求 a b c 的值 .
12．如图，点 H 为△ ABC 的垂心，以 AB 为直径的⊙ O1 和△ BCH 的外接圆
⊙ O2 相交于点 D ，延长 AD 交 CH 于点 P ，求证：点 为 CH 的中点 .
P
<第 12 题）
13．如图，点 A 为 y 轴正半轴上一点， A， B 两点关于 x 轴对称，过点 A 任
作直线交抛物线 y
2 x 于 P ， Q 两点 . 3
2
<1）求证：∠ ABP =∠ ABQ ；
<2）若点 A 的坐标为 <0， 1），且∠ PBQ =60o，试求所有满足条件的直线
PQ 的函数解读式 .
14．如图，△ABC 中，
P在△ABC
BAC
内
60 ， ， 且
<第 13 题）
AB 2AC．点
PA
3， PB 5， PC 2 ，求△ ABC 的面积．
中国教育学会中学数学教学专业
<第 14 题）
委员会
“《数学周报》杯”
2018 年全国初中数学竞赛试题参考答
2
案
一、选择题 1．A
解：由于 a
3a
3
7 1 ， a 1
6a 12 3a 6
7 ， a
2a
2
6 2a ， 所以
）
12a
（
2
）
12 6 2a
（
6a 12
2．B
6a 12a 60 （ ） 6 6 2a 12a 60
24.
ux vy
解：依定义的运算法则，有
u
， u(x
，
即
1) vy
，
0
对任何实数
u， v 都成立 . 由于实数 u， v 的任意性，得
vx uy v
v(x 1) uy 0
< x，y ）=<1， 0）．
3．C
解：由题设可知 y
x
y 1
，于是
x yx
3 y
x 4 y 1 ，
所以 故 y
4y 1 1 ，
1 2
，从而 x 4 ．于是 x y
9
．
2
4． C
解：如图，连接DE ，设SDEFS1
S1 S2
EF BF
， 则
S4 ，从而有 S1 S3 S2 S4 ．由于 S1 S1 ，所以
S3
S1 S3
S2S4 ．
<第 4题）
5． A
解：当 k 2，3， ，99 时，由于
1 k3
1 k k
1 1
1 1
2
，
2 k 1 k k k 1 1
所以
1 S 1
1 1 332 3 1 399 1 1 1
2 2 99 100
5 . 4
于是有 4 4S 5 ，故 4S 的整数部分等于 4． 二、填空题 6．3＜m≤4 解：易知 x
2 是方程的一个根，设方程的另外两个根为
， ，则 x1 x2
x1 x2 4 ， x1x2 m ．显然 x1 x2
2
4 2 ，所以
x1 x2
2，
16 4m ≥0，
即
x1 x2
4x1 x2
2 ， 16
16 4m ≥0，所以 4m 2 ，
16 4m ≥0，
解之得 3＜ m≤ 4.
7．
1
9
解： 在 36 对可能出现的结果中，有 4 对： <1，4）， <2，3）， <2， 3），
<4，1）的和为 5，所以朝上的面两数字之和为
5 的概率是
4
36
1 . NW2GT2oy01 9
8． 6
解：如图，设点 C 的坐标为（a，b），点 D 的坐标为（c，d）,
则点 A 的坐标为（ a，a），点 B 的坐标为（ c， c）. 由于点 C，D
1
在双曲线 y
上，所以 ab 1， cd 1 ．
x
由于 AC
a b， BD
c d ， 又由于 BD
2 AC，于
<第8题）
是
c d
2 a b ， c
（4 a
2
2
2cd d
2
2
（4a
2
2ab b），
6，
2
所以 即4OC
b）（ c
2d ） 8ab 2cd
2
2
9．
3
OD
2
6.
2
解：由1 x ≥0，且 x
1 ≥0，得 ≤ x ≤ 1．
12
2
x
2
y
2
由于 1
1
2
2
3 x
< 3 < 1 ，所以当 x = 时， y 取到最大值 1，故 a = 1 ． 2 4 4
3
2
1 1 2 ( x
2 2
2
3) 2 4
1 ． 16
当 x =
1 或 1 时， y 取到最小值 ，故 b = 2 ．
21
2
2
2
所以， a
2
b
2
3 ． 2
10． 84
解：如图，设 BC＝a，AC＝b，则
a
2
b
2
35 ＝ 1225． ①
2又 Rt △ AFE ∽ Rt △ ACB ， 所 以
1 2
F E
AF，即 A C
1 2 b a
b
C B
<第 10 题）
，故
