1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)
1x? . (1) limx?0(1?cosx)ln(1?x)3sinx?x2cos(2) 设幂级数?anx的收敛半径为3,则幂级数?nan(x?1)n?1的收敛区间
nn?0n?1??为 .
?(3) 对数螺线??e在点(?,?)?(e2,)处的切线的直角坐标方程
2??为 .
?12?2??,为三阶非零矩阵,且AB?0,则 = . 4t3(4) 设A??t??B??3?11??(5) 袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
?xy, (x,y)?(0,0),?(1) 二元函数f(x,y)??x2?y2在点(0,0)处
?0, (x,y)?(0,0)?( )
(A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在 (2) 设在区间[a,b]上f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0,令
S1??f(x)dx,S2?f(b)(b?a),
ab1S3?[f(a)?f(b)](b?a),则
2( )
(A) S1?S2?S3 (B) S2?S1?S3 (C) S3?S1?S2 (D) S2?S3?S1
(3) 设F(x)??x?2?xesintsintdt,则F(x)
( )
(A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数
?a1??b1??c1??,???b?,???c?,则三条直线a(4) 设?1???2?2?2?3?2?????a3???b3???c3??a1x?b1y?c1?0,a2x?b2y?c2?0,
a3x?b3y?c3?0(其中ai2?bi2?0,i?1,2,3)交于一点的充要条件是
( )
(A) ?1,?2,?3线性相关 (B) ?1,?2,?3线性无关 (C) 秩r(?1,?2,?3)?秩r(?1,?2) (D) ?1,?2,?3线性相关,?1,?2线性无关
(5) 设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量
3X?2Y的方差是
( )
(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)
?y2?2z,(1) 计算I????(x?y)dV,其中?为平面曲线?绕z轴旋转一周形成的
?x?0?22曲面与平面z?8所围成的区域.
?x2?y2?1,(2) 计算曲线积分??C(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz,其中C是曲线??x?y?z?2,从z 轴正向往z轴负向看,C的方向是顺时针的.
(3) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的
总人数为N,在t?0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k?0,求x(t). 四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分.)
?x?y?b?0,(1) 设直线L:?在平面?上,且平面?与曲面z?x2?y2相切于
?x?ay?z?3?0点(1,?2,5),求a,b之值.
?2z?2z(2) 设函数f(u)具有二阶连续导数,而z?f(esiny)满足方程2?2?e2xz,
?x?yx求f(u). 五、(本题满分6分)
设f(x)连续,?(x)??f(xt)dt,且lim01x?0f(x)?A(A为常数),求??(x)并讨论x??(x)在x?0处的连续性. 六、(本题满分8分)
设a1?2,an?1?11(an?),n?1,2,...,证明： 2an(1) liman存在；
n???a?(2) 级数??n?1?收敛.
n?1?an?1??七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.)
(1) 设B是秩为2的5?4矩阵,?1?(1,1,2,3)T,?2?(?1,1,4,?1)T,?3?(5,?1,?8,9)T是齐次线性方程组Bx?0的解向量,求Bx?0的解空间的一个标准正交基.
?1??2?12??是矩阵A??5a3?的一个特征向量. 1(2) 已知???????????1????1b?2??(Ⅰ) 试确定参数a,b及特征向量?所对应的特征值； (Ⅱ) 问A能否相似于对角阵？说明理由.
八、(本题满分5分)
设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B. (1) 证明B可逆； (2) 求AB?1. 九、(本题满分7分)
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的
2事件是相互独立的,并且概率都是.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量
5X的分布律、分布函数和数学期望. 十、(本题满分5分)
设总体X的概率密度为 其中???1是未知参数.x1,x2,L,xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和最大似然估计法求?的估计量.
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)
3(1)【答案】
20sinxln(1?x)【分析】这是型极限.注意两个特殊极限lim?1,lim?1.
x?0x?00xx【解析】将原式的分子、分母同除以x,得 评注：使用洛必达法则的条件中有一项是limx?x0f?(x)应存在或为?,而本题中, g?(x)极限不存在,也不为?,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则.
【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量. (2)【答案】(?2,4)
【解析】考察这两个幂级数的关系.令t?x?1,则
???n?12n?12nat?tnat?tatn?.
?n?1n?n?1n??n?1n?由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,?antn的收敛半径为
n?1?3?
??ant??的收敛半径为3.从而t2??antn????nantn?1的收敛半径为3,收敛区间
nn?1???n?1n?1即(-3,3),回到原幂级数?nan(x?1)n?1,它的收敛区间为?3?x?1?3,即(?2,4).
n?1?评注：幂级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点. 对于?anxn,若limn?0?n???an?11???它的收敛半径是R?.但是若只知它的收
?an敛半径为R,则?lim是这种情形).
n???an?11a?,因为limn?1可以不存在(对于缺项幂级数就
n???aanRn?(3)【答案】x?y?e2
??【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率k?y?x,而yx可由??e的参数方
程
?e?sin??e?cos?sin??cos?y?求得： y????,y?x?x?????1, ??x?ecos??esin?cos??sin?2?2?所以切线的方程为y?e??(x?0),即x?y?e2.
评注：本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系. (4)【答案】t??3
【解析】由AB?0,对B按列分块,设B???1,?2,?3?,则
AB?A??1,?2,?3???A?1,A?2,A?3???0,0,0?,
即?1,?2,?3是齐次方程组Ax?0的解.
又因B?O,故Ax?0有非零解,那么
1A?42t?211300?23?7?t?3??0, 13?4t?33?1由此可得t??3.
评注：若熟悉公式AB?0,则r(A)?r(B)?n?3,可知r(A)?3,亦可求出t??3.
2 5【解析】方法1：利用全概率公式.
求第二人取得黄球的概率,一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关.这就要用全概率公式.全概率公式首先需要一个完全事件组,这就涉及到设事件的问题.
(5)【答案】
设事件Ai?“第i个人取得黄球”,i?1,2,则完全事件组为A1,A1(分别表示第一个人取得黄球和第一个人取得白球).根据题设条件可知
P?A1??黄球的个数202白球的个数303??；PA1???；
球的总数505球的总数505??20?119?(第一个人取得黄球的条件下,黄球个数变成50?1491920?1?19,球的总数变成50?1?49,第二个人取得黄球的概率就为)；
4920 PA2|A1?(第一个人取得白球的条件下,黄球个数亦为20,球的总数
4920变成50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为).
49P?A2|A1????
997考研数学一真题及答案详解
