第27届全国中学生物理竞赛决赛试题
一、（25分）填空题
1．一个粗细均匀的细圆环形橡皮圈，其质量为M，劲度系数为k，无形变时半径为R，现将它用力抛向空中，忽略重力的影响，设稳定时其形状仍然保持为圆形，且在平动的同时以角速度ω绕通过圆心垂直于圆面的轴线匀速旋转，这时它的半径应为 。 2．鸽哨的频率是f，如果鸽子飞行的最大速率是u，由于多普勒效应，观察者可能观测到的频率的范围是从 到 。
3．如图所示，在一个质量为M、内部横截面积为A的竖直放置的 绝热气缸中，用活塞封闭了一定量温度为T0的理想气体，活塞也 气缸 是绝热的，活塞质量以及活塞和气缸之间的摩擦力都可忽略不计。 已知大气压强为p0，重力加速度为g，现将活塞缓慢上提，当活塞 到达气缸开口处时，气缸刚好离开地面。已知理想气体在缓慢变化 活塞 γ
的绝热过程中pV保持不变，其中p是气体的压强，V是气体的体 积，γ是一常数。根据以上所述，可求得活塞到达气缸 开口处时气体的温度为 。 4．（本题答案保留两位有效数字）在电子显微镜中，电子束取代了光束被用来“照射”被观
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测物，要想分辨1.0×10m（即原子尺度）的结构，则电子的物质波波长不能大于此尺度。
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据此推测电子的速度至少需被加速到 。如果要想进一步分辨1.0×10m尺度的结构，则电子的速度至少需被加速到 ，且为使电子达到这一速度，所需的
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加速电压为 。已知电子的静止质量me=9.1×10kg，电子的电量e=-1.6×-19-348-1
10C，普朗克常量h=6.7×10J·s，光速c=3.0×10m·s。 二、（20分）图示为一利用传输带输送货物的装置。物块（视为质点）自平台经斜面滑到一以恒定速度V运动的水平长传输带上，再由传输带输送到远处目的地。已知斜面高h=2.0m，水平边长L=4.0m，传输带宽d=2.0m，传输带的运动速度V=3.0m/s，物块与斜面间的摩擦系数μ1=0.30，物块自斜面顶端下滑的初速度为零，沿斜面下滑的速度方向与传输带运动方向垂直。设斜面与传输带接触处为非常小的一段圆弧，使得物块通过斜面与传输带交界处时其
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速度的大小不变。重力加速度g=10m/s。
1．为使物块滑到传输带上后不会从传输带边缘脱离，物块与传输带之间的摩擦系数μ2至少为多少？
2．假设传输带由一带有稳速装置的直流电机驱动，与电机连接的电源的电动势E=200V，内阻可忽略；电机的内阻R=10Ω，传输带空载（无输送货物）时工作电流I0=2.0A，求当货物的平均流量（单位时间里输送的货物质量）稳定在η=640/9kg/s时，电机的平均工作电流等于多少？假设除了货物与传输带之间的摩擦损耗和电机的内阻热损耗外，其它部分的能量损耗与传输带上的货物量无关。 三、（20分）如图，刚性细轻杆（其质量可视为零）可绕通过其中点O的光滑水平轴在竖直
面内自由转动。两质量分别为2m和m的 小球1和2（可视为质点）串在轻杆上， 它们与轻杆之间的静摩擦系数为μ=536。
B 2 m O θ 1 A 2m 开始时轻杆静止在水平位置，小球1和2 分别位于紧靠轻杆两端点A和B的位置。 现让系统自水平位置以零初速下摆，求 1．小球1脱离轻杆时的位置（用小球1 脱离杆时杆与水平线的夹角表示）；
2．小球2脱离轻杆时的位置（用小球2脱离杆时杆与水平线的夹角表示）。 四、（15分）如图所示，A、B、C为三个质点，A的质量远远大于B、C的质量，B 和C的质量相等，已知A、B之间、A、C之间存在相互吸引力，B、C之间
B 存在相互排斥力，三个质点在相互间引力或斥力的作用下运动，
φ1 如果作用力合适，可以存在一种如下形式的运动：
A、B、C的相对位置固定，它们构成一个平面，三个质点绕着 A 位于这个平面内的某条轴匀速转动；因为质点A的质量远远大于B、 φ2 C的质量，可认为该转轴过质点A且固定不动；连线AB与转轴的夹
C 角φ1与连线AC与转轴的夹角φ2不相等，且0＜φ1＜π/2，
0＜φ2＜π/2。
若AB之间吸引力的大小fAB?kAB，AC之间吸引力的大小为fAC?kAC，其中
??AB、AC分别为A、B与A、C之间的距离，k为比例系数。不计重力的影响，试问α的
值在什么范围内，上述运动才能实现？ 五、（15分）南极冰架崩裂形成一座巨型冰山，随洋流漂近一个城市，有人设计了一个利用这座冰山来发电的方案，具体过程为：（a）先将环境中一定量的空气装入体积可变的容器，在保持压强不变的条件下通过与冰山接触使容器内空气温度降至冰山温度；（b）使容器脱离冰山，保持其体积不变，让容器中的冷空气从环境中吸收热量，使其温度升至环境温度；（c）在保持容器体积不变的情况下让空气从容器中喷出，带动发电装置发电。如此反复，直至整座冰山融化。已知环境温度Tα，=293K，冰山的温度为冰的熔点TI=273K，可利用的冰山的
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质量m=1.0×10kg，为了估算可能获得的电能，设计者做出的假设和利用的数据如下： 1）空气可视为理想气体。
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2）冰的熔解热L=3.34×10J/kg；冰融化成温度为TI的水之后即不再利用。 3）压强为p、体积为V的空气的内能U=2.5pV。
4）容器与环境之间的热传导良好，可以保证喷气过程中容器中空气温度不变。
5）喷气过程可分解为一连串小过程，每次喷出的气体的体积都是u，且u远小于容器的体积。在每个小过程中，喷管中的气体在内外压强差的作用下加速，从而获得一定动能△E，从喷嘴喷出。不考虑喷出气体在加速过程中体积的改变，并认为在喷气过程中容器内的气体压强仍是均匀的，外压强为大气压。
6）假设可能获得的电能是△E总和的45﹪。 7）当x=1时，ln（1+x）≈x。
试根据设计者的假设，计算利用这座冰山可以获得的电能。 六、（15分）如图，两块大金属板A和B沿竖直方向平行
A B
m 放置，相距为d，两板间加有恒定电压U。一表面涂有金属 膜的乒乓球垂吊在两板之间，其质量为m。轻推乒乓球，使 之向其中一金属板运动，乒乓球与该板碰撞后返回，并与另 一板碰撞，如此不断反复。假设乒乓球与两板的碰撞为非弹 性碰撞，其恢复系数为e，乒乓球与金属板接触的时间极短， 并在这段时间内到达静电平衡。到达静电平衡时，乒乓球所 带的电荷量q与两极板之间电势差的关系可表示为q?C0U，
其中C0为一常量。同时假设乒乓球半径远小于两金属板间距d，乒乓球上的电荷不影响金属板上的电荷分布；连接乒乓球的绳子足够长，乒乓球的运动可近似为沿水平方向的直线运动；乒乓球第一次与金属板碰撞时的初动能可忽略，空气阻力可忽略。试求： 1．乒乓球运动过程中可能获得的最大动能。 2．经过足够长时间后，通过外电路的平均电流。 七、（20分）如图（a）所示，十二根均匀的导线杆联成一边长为L的刚性正方体，每根导线杆的电阻均为R，该正方体在匀强磁场中绕通过其中心且与abcd面垂直的转动轴作匀速转动，角速度为ω。已知磁感应强度大小为B，方向与转动轴垂直。忽略电路的自感，当正方体转动到如图（b）所示的位置（对角线db与磁场方向夹角为θ）时，求 1．通过导线ba、ad、bc和cd的电流强度。 2．为维持正方体作匀速转动所需的外力矩。
a a′ b′ L a b d B B
L θ b ω c′
ω d c c
（a） （b）
八、（10分）空心激光束是一种在传播方向上中心光强为零的圆筒形光束。由于这一特征，它可以把某些微小粒子约束在激光束的中心部位，作为激光导管、激光镊子、光学扳手等，实现对纳米粒子、生物细胞等微小粒子的精确操控。空心激光技术目前在生物学、激光加工、原子冷却等方面得到了广泛的应用，正逐渐成为一门新兴的学科分支。
产生空心激光束的基本做法是利用光学系统将一束实心的圆柱形激光转换成为一束空心的激光。给定如下光学器件：焦距为f的凸透镜，圆锥角为45°的锥面反射镜，半径为R的球面镜（中间有圆孔），如图：
f f R 45°
O 利用上述光学器件设计一光学系统，使得一束很细的实心圆柱形入射激光转化成一束（b） （a） （c）
空心的出射激光，且空心为圆柱形，半径为r。请回答如下问题：
1． 画出该光学系统的光路图。
2． 求该光学系统中锥面镜顶点到球面镜球心的距离x。
第27届全国中学生物理竞赛决赛试题参考答案及评分标准
一、填空题（25分）
1．（6分）4?2kR/(4?2k?M?2) 2．（4分）fV/（V+u），fV/（V－u） 3．（6分）T0(1?Mg1?p)1/? 0A4．（9分）7.3×106
m·s-1
，2.8×108
m·s-1
，8.4×105
V 二、（20分）
1．令m表示物块的质量，物块在斜面上滑动的加速度
a?mgsin???1mgcos?m?g(sin???1cos?) 物块滑到斜面底端的速度
v0?2ah/sin??2gh(1??1cot?)?4.0m/s 以传输带为参照系，物块滑到传输带的初速度大小
v?220?v0?V?5.0m/s 运动方向与传输带边缘的夹角α满足
tan??43 （4） 物块在传输带上作减速运动，其加速度大小
a???2mgm??2g （5）
当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离
s??v?20v?202a??2? 2g物块不超过传输带宽的边缘对应的最小摩擦系数μ2应满足
s?sin??v?20sin?2??d 2g因此可得
?v?20sin?2?2gd?0.5 1）2）3）6）7）8）（
（
（
（ （
（
2．物块对传输带的摩擦力大小
F??2g?g? （9） v???v0?2g0?的方向相同。从地面参照系来看，传输带速度为V，单位时间内物块对传输带所做方向与v0的功
W??FVcos? （10）
因此负载所引起的附加功率
gg?P??W??V2?640W （11）
考虑到无负载时电机的输出功率
P0?I0E?I02R?360W （12）
有负载时电机的输出功率为
I R M P?P0??P?1000W （13）
设有负载时的工作电流为I，则
E
P?IE?I2R （14）
解之得
I?10A （15）
评分标准：（2）式2分，（3）、（4）式共2分，（6）式2分，（7）式3分，（8）式1分，（9）
式4分，（10）式2分，（13）式2分，（15）式2分。 三、（20分）
设轻杆的杆长为2l，当杆与水平线的夹角为θ时，球1和球2的速度分别为v1和v2，杆转动的角速度为ω，因机械能守恒，有
112 （1） 0?mglsin??2mglsin??(2m)v12?mv222又因 v1?v2?l? （2） 可由（1）、（2）解得
??2gsin? （3） N2 f2 3lB 2 mg O θ l f1 1 A 2mg N1
l 轻杆与两小球构成的系统对转轴的角动量 L?2mlv1?mlv2 （4） 由角动量定律有
2mglcos??mglcos??根据角加速度β的定义
?L （5） ?t
第27届全物理竞赛决赛试题
