3.2 一元二次不等式（一）
学习目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．
知识点一 分式不等式的解法 思考
梳理 一般的分式不等式的同解变形法则： (1)
x－3x－3
>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？ x＋2x＋2
fx>0?____________；
gx?? ；fx(2)≤0??
gx?? ；
(3)
fxfx－agx≥a?≥0.
gxgx知识点二 一元二次不等式恒成立问题
思考 x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？
梳理 一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象全部在x轴________方．区间[a，b] 是不等式f(x)>0的解集的________． 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题， 即在[a，b]上，
k≥f(x)恒成立?k≥________；
1
k≤f(x)恒成立?k≤________.
类型一 一元二次不等式在生活中的应用
例1 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距112
离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝x＋x.在一次交通事故中，测得这种车的
20180刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到1 km/h，28 521≈168.882)
反思与感悟 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 跟踪训练1 在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x，S乙＝0.05x＋0.005x.问超速行驶谁应负主要责任．
类型二 分式不等式的解法 例2 解下列不等式．
2
2
2
(1)
x－3x＋1
<0；(2)≤1. x＋22x－3
反思与感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型
fxfx>0(<0)或
gxgx≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可． 跟踪训练2 解下列不等式． 2x－12－x(1)≥0；(2)>1. 3x＋1x＋3
3
类型三 不等式恒成立问题 例3 设函数f(x)＝mx－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围； (2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 引申探究
若将例3(2)改为：对于任意m∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求实数x的取值范围．
反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；
(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解．
跟踪训练3 当x∈(1,2)时，不等式x＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
2
2
1．若不等式x＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是________．
2．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x(0 3．不等式x＋x＋k>0恒成立时，k的取值范围为________． 4．解下列不等式． (1) 2 2 2 x－12x－1 ≥0；(2)>1. x－23－4x4 1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零． 2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则a 3．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解． 5
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式（二）学案苏教版必修5
