三角形内切椭圆及其性质的研究
作者：靳兆融 曾力玮 指导教师：唐晓苗
中国人民大学附属中学
中国?北京
2010年8月
摘要
本文采用平行射影变换、解析几何、复数等数学工具研究了三角形内切椭圆的性质，并最终得到了关于椭圆中心、焦点以及长短轴长的一些结论，包括，三角形内切椭圆中心的轨迹，三角形内切椭圆长短轴之和的最大值，以及其他一些几何不等式。论文运用代数方法给出了美观的几何结论，在一定程度上丰富了关于三角形内切椭圆的研究。 关键词：三角形 内切 椭圆
Abstract
In this paper, the authors deal with the properties of inscribed ellipse of triangles, using tools of parallel projective transformation, analytic geometry and complex plane, and lead to several conclusions on the center, foci and major/minor axis, including the locus of the center of the inscribed ellipse, the maximum sum of the major axis and minor axis, and several other geometric inequalities. To some extent, this paper enriches the knowledge about the inscribed ellipse of triangles. And by using algebraic methods the authors reveal some beautiful geometric characteristics. Key words: Triangle, Inscribed Ellipse
一、引言
在平面几何中，关于三角形内切圆的研究已经非常充分。从欧拉公式（R2=d2+2Rr），到费尔巴哈定理（三角形内切圆与九点圆相切），各种结论层出不穷。关于三角形的内切椭圆，人们却所知不多。本文试图弥补这方面的不足，对三角形的内切椭圆进行一番探究。
为了叙述方便，在本文中约定，圆算作椭圆的特例，但是线段不算。本文中 提到复数或复平面时，均以?ABC的外心为原点。
我们先来考察一下椭圆内切于三角形的含义。
设P、Q为?ABC内两点，以P、Q为焦点的椭圆与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F。由椭圆的性质可知，对于平面上任一点X，若X在椭圆外，则
PX + QX > 2a（这里a为椭圆的半长轴）；若X在椭圆上，则PX + QX = 2a；若X在椭圆内，则PX + QX < 2a。于是我们知道D为BC上到点P、Q距离之和最小的点，而E为直线CA上到点P、Q距离之和最小的点，F也为直线BC上到点P、
Q距离之和最小的点，且PD + QD = P E + QE = PF + QF。
反之，对于?ABC内的两个点P、Q，只要满足，BC上的点到P、Q距离之和
等于直线CA上点到P、的最小值，
Q距离之和的最小值，也等于直线AB上点到P、Q距离之和的最小值，那么就存在一个以P、Q为焦点的椭圆内切于?ABC。
由此我们可以引出如下引理。
[引理1] 给定?ABC内一点P，存在一个以P为其焦点之一的椭圆，
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这个椭圆内切于?ABC，且该椭圆的另一个焦点就是P在三角形中的等角共轭点。（关于等角共轭点的相关知识，可参见[1]）
事实上，由前面的结论，我们只需说明在?ABC内还存在一个点Q，使得?ABC三边上的点到P、Q距离之和的最小值相等即可。
分别做点P关于BC、CA、AB的对称点PA、PB、PC，并记Q点为?PAPBPC的外心。
首先，Q点一定在?ABC内。事实上，若Q在?ABC之外（如左图），不妨设Q点相对点P（以及点B、PB和PC）在直线AC的异侧，那么由P与PB关于AC对称知QPB 在BC的同侧，这样一来就有QP < QPA。综合两个不等式得到QPB 这样一来，设线段QPA、QPB、QPC与BC、CA、AB分别交于点D、E、F，那么D、E、F就分别是所在直线上到P、Q距离和最小的点，且 PD + QD = PAD + QD = PAQ = PBQ = PE + QE = PF + QF 这就证明了存在一个以P、Q为焦点的椭圆，它与?ABC三边分别切于点D、E、F。 如果记PQ的中点为O，那么O即为椭圆的中心。过P、Q分别向BC、CA、AB引垂线，垂足记为P1、P2、P3和Q1、Q2、Q3。注意到P1、P2、P3和O分别是线段PPA、PPB、PPC和PQ的中点，于是在以P为位似中心，1为位似比的 2 位似变换下PA、PB、PC和Q 2/27 分别变为P1、P2、P3和O，再由Q是?PAPBPC的外心知O即为?P1P2P3的外心。由于PP1Q1Q实际上是一个直角梯形（或矩形），而O是其斜腰的中点，OP1=OQ1，即Q1也在?P1P2P3的外接圆上。同理Q2 和Q3也在该圆上。于是P1、P2、P3和Q1、Q2、Q3这六点均在一个以O为圆心的圆上。 由于QQ1⊥CQ1，QQ2⊥CQ2，因此∠QCQ2=90°-∠CQQ2，且C、Q1、Q、Q2四点 共圆，于是∠CQQ2=∠CQ1Q2，则∠QCQ2=90°-∠CQ1Q2。同理可得∠PCP1=90°-∠CP2 P1。 另一方面，由于P1Q1Q2P2共圆，因此∠CQ1Q2=∠CP2 P1，于是 ∠QCQ2=90°-∠CQ1Q2=90°-∠CP2P1 =∠PCP1 即∠PCB=∠QCA。同理可知∠PBC=∠QBA，∠PAB=∠QAC。这说明P和Q互为等角共轭点。这说明，?ABC的任一内切椭圆的两个焦点互为等角共轭点，且在?ABC内任取一个点，都存在一个以该点和它的等角共轭点为焦点的内切椭圆。 至此引理1得证。 二、三角形内切椭圆的中心 在引理1的证明过程中我们已经得到了一些关于三角形内切椭圆中心点O的性质，本章将对点O的轨迹进行探讨。我们发现，O所有可能取到的点组成的集合，即为?ABC的中点三角形内全部点组成的集合。换句话说，我们有如下定理 [定理1] 存在以点O为中心的?ABC的内切椭圆的充要条件是，点O位于?ABC的中点三角形的内部。 为证明定理1，我们需要平行射影变换这一工具，这也是在处理椭圆问题中比较常用的工具[2]。平行射影变换具有很多好的性质，比如在射影变换下曲线和直线相切的性质得以保留，而线段上定比分点的比例（即相对位置）不会改变。 证明过程分为必要性和充分性两方面。 1、（必要性）首先证明，对于?ABC的每一个内切椭圆，其中心点O一定在?ABC 3/27
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