一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2． （1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．
【答案】（1）k?【解析】
试题分析：（1）方程有两个实数根，可得??b2?4ac?0，代入可解出k的取值范围； （2）由韦达定理可知，x1?x2?2?k?1?,x1x2?k，列出等式，可得出k的值．
21；（2）k?3 2试题解析：(1)∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2， ∴k1＝1，k2＝－3. ∵k≤
1； 21，∴k＝－3. 2
2．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠． 【解析】 【分析】
（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可. 【详解】
（1）设平均每次下调x%，则
7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
3．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0． （1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是5． 【解析】 【分析】
（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；
（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可. 【详解】 （1）证明：
∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0， ∴x2﹣7x+12﹣m2=0，
∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2， ∵m2≥0， ∴△＞0，
∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根； （2）解：∵方程的一个根是2， ∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±即m的值为±【点睛】
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.
当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.
，
∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，
，方程的另一个根是5．
4．已知为正整数，二次方程
的两根为
，求下式的值：
【答案】【解析】 由韦达定理，有
，
．于是，对正整数
，有
原式=
5．已知关于x的方程x?(k?1)x?212k?1?0有两个实数根. 4(1)求k的取值范围；
22(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且x1?x2?6x1x2?15，求k的值.
【答案】（1）k?【解析】 试题分析：
3 （2）4 2根据方程的系数结合根的判别式即可得出??2k?3?0 ，解之即可得出结论.
，x1?x2?根据韦达定理可得：x1?x2?k?112k?1 ，结合x12?x22?6x1x2?15 即可得4出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k值，再由⑴的结论即可确定k值. 试题解析：
因为方程有两个实数根，所以??????k?1????4?1??解得k?2?12?k?1??2k?3?0 ， ?4?3. 2根据韦达定理，
12k?1??k?1?1 4x1?x2???k?1，x1?x2??k2?1.11422因为x1?x2?6x1x2?15，所以?x1?x2??8x1x2?15?0，将上式代入可得
2?k?1?2?1??8?k2?1??15?0 ，整理得k2?2k?8?0 ，解得 ?4?k1?4，k2??2 ，又因为k?3，所以k?4. 2
6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】（1）5；（2）180 【解析】 【分析】
（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；
（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可． 【详解】
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得： x+1+（x+1）x＝36，
解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了5个人； （2）根据题意得：5×36＝180（个）， 答：第三轮将又有180人被传染． 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.
7．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍． （1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了
4m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到592%，求m的值．
【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50． 【解析】 【分析】
（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；
（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答． 【详解】
解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人， 依题意得：7.5-x≤2x， 解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人； （2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+解得m=50 答：m的值为50． 【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．
44m%）+1.5×（1+m%）（1+2m%）=7.5×92%， 55
8．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元 【解析】 【分析】
表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题. 【详解】
设每天获得的利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000． ∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．
答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元． 【点睛】
本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.
9．阅读下面的例题， 范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2
请参照例题解方程x2﹣|x﹣10|﹣10=0． 【答案】x1=4，x2=﹣5． 【解析】 【分析】
分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x2﹣x=0，当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，分别求出方程的解即可． 【详解】
当x≥10时，原方程化为x2﹣x+10﹣10=0，解得x1=0（不合题意，舍去），x2=1（不合题意，舍去）；
当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，解得x3=4，x4=﹣5， 故原方程的根是x1=4，x2=﹣5． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．
10．已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+
12k＝0 有两个不相等的实数根． 4
中考数学专题题库∶一元二次方程的综合题附答案解析
