东北大学高等数学(下)期末考试试卷
2003.6.27
一、单项选择（本题12分，每小题4分）
??1．由级数?bn发散可以肯定级数?an发散, 只要当n充分大时有( ).
n?1n?1（A）an?bn； （B）an?bn；（C）an?bn；（D）an?bn.
2．微分方程y???y?sinx?cos2x的一个特解应具有形式(其中a, b, c为待定常数)( ).
（A）asinx?bcosx?ccos2x； （B）x?asinx?bcosx??ccos2x； （C）asinx?bcos2x?ccos2x； （D）axsinx?bxcosx. 3．设有平面闭区域D???x,y??a?x?a,x?y?a?,
D1???x,y?0?x?a,x?D1y?a,则???xy?cosxsiny?dxdy?( ).
D?（A）2??cosxsinydxdy； （B）2??xydxdy；
D1（C）4???xy?cosxsiny?dxdy； （D）0.
D1二、填空（本题12分，每小题4分）
1. 曲面ax?by?cz?1?n?N,n?0?上点?x0,y0,z0?处的切平面方程为.
nnn2．设区域D是由直线y=x和曲线y=x3所围成, f(x,y)是D上的连续函数, 试写出用两种不同次序的二次积分来计算I?公式1:, 公式2:.
?3． 函数u=z-3xz+x+y在点M(1,1,1)处沿着方向l??1,2,2?的方向导数为.
4
2
2
??f?x,y?dxdy的公式.
D三、求解下列各题（本题24分，每小题8分） 1. 设Z=f(xy-xy)具有二阶连续偏导数, 求
322
?u?x?y2.
2. 求微分方程y?????y???y?的通解.
3. 求由曲面Z=x+2y及Z=6-2x-y所围成的立体的体积
四、（9分）在曲面2x2+y-z2-2xy+1=0上求一点, 使其到原点的距离为最小. 五、（9分）计算对坐标的曲面积分???xzdydz??xy?z22?32222
?dzdx??2xy?yz?dxdy 其中?为
2上半球体x2?y2?a2,0?z?222a?x?y的表面外侧.
六、（9分）计算三重积分????x?y2?2?dv其中是由曲面4z2=25(x2+y2)及平面z=5所围成的
闭区域.
?七、（9分）求幂级数?n?122nn?1x的收敛区间.
22n八、（9分）计算曲线积分??Lx?yds,其中L是为圆周x+y=ax. ?13?14?22
九、（7分）判别级数1?
参考答案
12??15?16???的敛散性(其中?为实数).
一、1、C 2、B 3、A 二、1、
ax0n?1x?by0n?1y?cz0n?1z?13；2、（1）?0?1dx?xx3f(x,y)dy??10dx?xx3f(x,y)dy；
?（2）
0?1dy?3?z2yyf(x,y)dx??10dy?yyf(x,y)dx5 3、3
三、1、?x?y2、
3322?2yf1??2xf2??2xyf11???2xyf22???5xyf12??
设p?y?,y???pdpdy,原方程化为pdpdy?p?p,即3dpdy?(1?p)?02由p?0,得y?c,这是原方程的一个解,但非通解.由dpdy?(1?p)?0,得arctanp?y?C1,即p?tan(y?C1),dydx?tan(y?C1),?x?C?x2也就是?tan(y?Cdy)1?lnsin(y?C1)C于是得通解为y?arcsin(C2e)?C1.(其中C2?e)
3、
V???(6?2x?y?(x?2y))d?D22202222?4??(6?3x?3y)d??12?D1dx?2?x02(2?x?y)dy22?8?20(2?x)dx?6?23
dydx22??12(t?1)4??(7分)
四、
令F?x?y?z??(2x?y?z?2xy?1),得?Fx?2x?4?x?2?y?0??Fy?2y?2?y?2?x?0?x?0,y?0,z??1?F?2z?2?z?0?x?2x2?y2?z2?2xy?1?0?所求点为(0,0,1)或(0,0,?1).222222
五、
用高斯公式:原式=???(z+x+y)dv??222?0235222?2?0?0d??2d??r?rsin?dr?0a2225?a5
六、
???(x??y)dv??d??rdr?5dz?8?02r
七、 liman?1an12?lim2(n?1)(n?1)?122n??n???2,?R?1212当x?时,原级数收敛,当x??11,].22时原级数也收敛.于是,收敛区间为[?
八、
????2?L20acos?acos??asin?d??2aa2a2a222222(选参数方程为r?acos?)?x=??或选参数方程为??y????cos?(0???2?)进而sin?2??Lx?yds?22a24?2?02(1?cos?)d??2a亦可九、
??1时,交错级数,莱布尼兹判别法知其收敛.n??1时,由S2n??k?112k?1n??k?1n12?(1k?).1?n??12n?1?12???1时,等价地考虑级数?(k?11(2n)??12n?1?),由lim(2n)?n??,根据比较判别法及当??1时级数?n=11n?发散知这时原级数也发散.
东北大学高数试卷及答案2003.6.27
