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利用圆周角与圆心角关系解题
我们知道，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于该弧所对的圆心角的一半，即同圆或等圆中圆周角相等，可以得到圆心角也相等.利用圆周角与圆心角的这种关系，我们求解许多与之相关的问题，现举例说明.
例1 已知：如图1，⊙O的两条弦AE，BC相交于点D，连结AC，BE，AO，BO，若∠ACB＝60°，则下列结论中正确的是（ ）
A.∠AOB＝60° B.∠ADB＝60° C.∠AEB＝60° D.∠AEB＝30°
分析 由于已知的是圆周角的大小，则由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于该弧所对的圆心角的一半，可以确定圆周角∠AEB和圆心角∠AOB的大小，于是问题即可求解.
解 因为∠ACB＝60°，所以圆周角∠AEB＝60°，圆心角∠AOB＝120°.故应选C.
说明 利用圆周角与圆心角的关系性质解题时一定要注意其前提条件是：在同圆或等圆中.
图1
图2
C O A B 例2 如图2，已知：⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝50°，∠ABC＝47°，求∠AOB.
分析 要求∠AOB的大小，只要能求出∠C，此时的∠C是△ABC的内角，结合已知条件即可求解.
解 因为⊙O是△ABC的外接圆，
所以∠CAB、∠ABC、∠C都是圆周角，∠AOB是圆心角.
又因为∠BAC＝50°，∠ABC＝47°，所以∠C＝180°－(∠A+∠B)＝180°－(50°+47°)＝83°.
由圆周角定理，得∠C＝
1∠AOB，所以∠AOB＝2∠C＝2×83°＝166°. 2说明 求解此类问题时，一定要正确理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及
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其证明的思路，另外，圆周角定理也可以理解成：“一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的二倍.”
例3 已知⊙O的弦AB长等于⊙O的半径，求此弦AB所对的圆周角的度数.
分析 本题虽然给出了明确的已知条件，但由于没有提供图形，所以要分情况求解.
解 下面分两种情况：如图3所示，连接OA，OB，在⊙O上任取一点C，连接CA，CB.因为AB＝OA＝OB，所以∠AOB＝60°，
所以∠ACB＝
A 图3
1∠AOB＝30°.即弦AB所对的圆周角等于30°. 2O C O A B B D
图4
如图4所示，连接OA，OB，在劣弧上任取一点D，连接AD，OD，BD，则∠BAD＝
11∠BOD，∠ABD＝∠AOD.所以∠BAD+∠ABD＝2211(∠BOD+∠AOD)＝∠AOB. 22因为AB的长等于⊙O的半径，所以△AOB为等边三角形，∠AOB＝60°. 所以∠BAD+∠ABD＝30°，∠ADB＝180°－(∠BAD+∠ABD)＝150°， 即弦AB所对的圆周角为150°.
说明 分类讨论是研究与圆有关问题的重要思想方法，当给出的问题不够明
确时一定要考虑分情况来解决，以防漏解.
下面两道题目供同学们自己练习： 1.如图5中，∠BOD的度数是（ ）
A.55° B.110° C.125° D.150°
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A E O 30°D C
图5
C O G D
图6
B 25° E F 2.如图6，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF等于（ ）A.80° B.50° C.40° D.20°
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参考答案：
1，点拨：要求∠BOD的度数，由图形可知，只要能求出BCD的大小，而事实上BCD的大小是由BC与CD构成的，此时由已知条件可以分别求出BC与CD的大小，从而可以求解.即因为∠A＝25°，∠E＝30°，所以BC的大小是50°，CD的大小是60°，即BCD的大小是110°.又因为∠BOD的度数等于BCD的大小，所以∠BOD＝110°.故应选B.
2，点拨：要求∠DCF的大小，而已知条件中只知道一个圆心角，且这个圆心角与要求的圆周角好象不存在关系，但条件中给出了⊙O的直径CD过弦EF的中点G，于是，我们可以利用垂径定理，使问题转换，这样即可求解.即因为⊙O的直径CD过弦EF的中点G，所以CD平分EDF，即D是EDF的中点，又因为∠EOD＝40°，所以ED的大小等于40°，即DF的大小也等于40°.所以∠DCF＝20°.故应选D.
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浙教版-数学-九年级上册-利用圆周角与圆心角关系解题
