第六章 量纲分析和相似原理答案
6-1由实验观测得知，如图6-1所示的三角形薄壁堰的流量Q与堰上水头H、重力加速度g、堰口角度θ以及反映水舌收缩和堰口阻力情况等的流量系数m0（量纲一的量）有关。试用π定理导出三角形堰的流量公式。
解：f?Q,H,g,?,m0??0 选几何学的量H，运动学的量g作为相互独立的物理量，有3个π项。
π1?Ha1g?1Q，p2=Ha2gb2q，π3=Ha3gb3m0
对?1，其量纲公式为
L0T0M0=La1(LT-2)b1L3T-1
L:0??1??1?3，T:0??2?1?1
51解出?1??，?1??，则可得
22Q π1=5gH2对π2，其量纲公式为
L0T0M0=La2(LT-2)b2
L:0??2??2，T:0??2?2
联立解上述方程组，可得?2?0,?2?0,?2?0，则可得
π2=q
对π3，其量纲公式为
L0T0M0=La3(LT-2)b3
L:0??3??3，T:0??2?3
联立解上述方程组，可得?3?0,?3?0,?3?0，则可得
π3=m0
F(π1,π2,π3)=0
即
F(QgH52,q,m0)=0或
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QgH52=F1(q,m0)
Q?F1(?,m0)gH54
式中，?要视堰口的实际角度而定，量纲一的量m0要由实验来确定。
54q2gh2与上式形状相同。 第十章三角形薄壁堰的理论分析解Q=m0tan526-2 根据观察、实验与理论分析，认为总流边界单位面积上的切应力τ0，与流体的密度
ρ、动力粘度μ、断面平均流速v，断面特性几何尺寸（例如管径d、水力半径R）及壁面粗糙凸出高度Δ有关。试用瑞利法求τ0的表示式； 若令沿程阻力系数??8f(Re,?)，可得d?0??8?v2。
aa解：τ0=kra1ma2v3da4D5 将上式写成量纲方程形式后得
dim?0?ML-1T-2=(ML?3)?1(ML-1T-1)?2(LT?1)?3(L)?4(L)?5
根据量纲和谐原理可得：
M:1??1??2
L:?1??3?1??2??3??4??5 T:?2???2??3
选?3、?5为参变量，联立解上述方程组可得：?1??3?1，?2?2??3，?4??2??3??5。
将上面求得的指数代入指数乘积形式的关系式可得：
?0?k???1?2??v?d?2??????
333355
????，又因v???3v2v2??3,故
?552?v2????????v?0?k???k?f(Re,)?v2 ??2??32??3d?d??vd??d?Re??????若令??8f(Re,)，代入上式可得
d??0??v2
86-3试用π定理求习题6-2中的τ0表示式。 解：f(?0,?,?,v,d,?)?0
选取d、v、ρ为基本物理量，因此有三个π项
π1?d?1v?1??1?0 π2?d?2v?2??2? π3?d?3v?3??3?
先求π1，其量纲式为
dimπ1?L?1(LT?1)?1(ML?3)?1(ML-1T?2) L:0??1??1?3?1?1 T:0???1?2 M:0??1?1
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解上述方程组可得：?1??2,?1??1,?1?0，所以有π1?再求π2，其量纲式为
?0 ?v2dimπ2?(L)?2(LT?1)?2(ML?3)?2(ML-1T-1) L:0??2??2?3?2?1 T:0???2?1 M:0??2?1
解上述方程组可得：?2??1，?2??1，?2??1，所以有
??1 π2???d?vvdRe再求π3，其量纲式为
dimπ3?L?3(LT?1)?3(ML?3)?3L L:0??3??3?3?3?1 T:0???3 M:0??3
解上述方程组可得：?3?0，?3?0，?3??1，所以有
?π3?
d由此可得量纲一的量所表达的关系式为
F(或
?01?,,)?0 ?v2Red?0D?t=f(Re,)rv2 ?f(Re,)，或02d?vd?)，则可得 d若令??8f(Re, ?0??8?v2
6-4文丘里管喉道处的流速v2与文丘里管进口断面管径d1、喉道直径d2、流体密度ρ、动力粘度μ及两断面间压差Δp有关，试用π定理求文丘里管通过流量Q的表达式。
题6-4图
解：f(v2,d1,d2,?,?,?p)?0 选取d2，v2，ρ三个基本物理量，有三个π项。
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工程流体水力学第六章习题答案讲诉
